Question

已知圓M：（x+1）²+y²=1，圓N：（x-1）²+y²=9，動圓P與圓M外切并與圓N內(nèi)切，圓心P的軌跡為曲線 C
（1）求C的方程；
（2）直線l是過曲線C的右焦點(diǎn)，且斜率為2的直線，該直線與曲線C相交于A、B兩點(diǎn)，求|AB|．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題,軌跡方程,圓與圓的位置關(guān)系及其判定

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由兩圓相外切得到|MP|=1+r，由⊙N與⊙P內(nèi)切 得到|NP|=3-r，從而有根據(jù)|MP|+|NP|=4＞|MN|=2，橢圓的定義可得P點(diǎn)的軌跡是以N，M為焦點(diǎn)的橢圓，求出a、b²的值，即得C的方程．
（2）求出直線的方程，代入橢圓方程中消去y，利用弦長公式求得|AB|的表達(dá)式，利用t的范圍求得|AB|即可．

解答： 解：（1）設(shè)點(diǎn)P（x，y），動圓P的半徑為r，
∵⊙N與⊙P內(nèi)切，∴|NP|=3-r，
∵⊙M與⊙P外切，∴|MP|=1+r，
∵|MP|+|NP|=4＞|MN|=2，
∴P點(diǎn)的軌跡是以M，N為焦點(diǎn)的橢圓．|MP|+|NP|=4=2a，∴a=2，
∵|MN|=2c=2，c=1，
∴b²=a²-c²=3，
∴P的軌跡方程為：

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）直線l的方程為y=2x-2，代入

x2

4

+

y2

3

=1，消去y得19x²-32x+4=0，
x₁+x₂=

32

19

，x₁•x₂=

4

19

．
∴|AB|=

1+22

•

( 32 19 )2-4( 4 19 )

=

60

19

．

點(diǎn)評：本題主要考查了橢圓的應(yīng)用，直線與橢圓的關(guān)系．弦長的求法常需要把直線與橢圓方程聯(lián)立，考查分析問題解決問題的能力．