Question

如圖，橢圓C：

x2

4

+

y2

2

=1的左、右頂點分別為A、B，垂直于x軸的直線交橢圓C于P、Q兩點，過原點O作OD⊥AP于D，OC⊥BQ于C．
（Ⅰ）求證：直線AP與QB的斜率之積為定值；
（Ⅱ）若直線CD交x軸于點M（m，0），求m的取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）設(shè)P（x₀，y₀），Q（x₀，-y₀），則由已知條件推導(dǎo)出k_AP•k_BQ=

1

2

，
（Ⅱ）設(shè)OC的斜率為k，則OD的斜率為

2

k

，由OC交AP于C，得xC=-

2

k2+1

，yC=-

2k

k2+1

，OD交BQ于D，得xD=

2k2

k2+4

，yD=

4k

k2+4

，由CD過（m，0），能求出m∈（-

2

3

，

2

3

）．

解答： （Ⅰ）證明：設(shè)P（x₀，y₀），Q（x₀，-y₀），
則k_AP•k_BQ=

y0

x0+2

•

-y0

x   0 -2

=

-y02

x02-4

=

-y02

x02-4

=

-y02

-2y02

=

1

2

，
（Ⅱ）解：設(shè)OC的斜率為k，則OD的斜率為

2

k

，
OC交AP于C，得：

y=kx y=- 1 k (x+2)

，
解得xC=-

2

k2+1

，yC=-

2k

k2+1

，
OD交BQ于D，得：

y= 2 k x y=- k 2 (x-2)

，
解得xD=

2k2

k2+4

，yD=

4k

k2+4

，
CD過（m，0），有

- 2k k2+1

- 2 k2+1 -m

=

4k k2+4

2k2 k2+4 -m

，
上、下去分母，得：

2k

2+m(k2+1)

=

4k

2k2-m(k2+4)

，
化簡，得m=

2k2-4

3k2+6

=

2t-4

3t+6

（t＞0），
由圖象求得m∈（-

2

3

，

2

3

）．

點評：本題考查兩直線斜率之積為定值的證明，考查實數(shù)取值范圍的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運用．