Question

如圖，棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的所有棱長都等于2，∠ABC和∠A₁B₁C₁均為60°，平面AA₁C₁C⊥平面ABCD．
（I）求證：BD⊥AA₁
（II）求二面角D-AA₁-C的余弦值；
（III）在直線CC₁上是否存在點(diǎn)P，使BP∥平面DA₁C₁，若存在，求出點(diǎn)P的位置，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）設(shè)BD與AC交于O，則BD⊥AC，連接A₁O，以O(shè)B，OC，OA₁所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出與的坐標(biāo)，計(jì)算它們的數(shù)量積從而得到BD⊥AA₁
（II）平面AA₁C₁C的一個(gè)法向量為n₁=（1，0，0），求出平面AA₁D的一個(gè)法向量n₂，計(jì)算兩法向量的余弦值從而得到二面角D-A₁A-C的平面角的余弦值；
（III）假設(shè)在直線CC₁上存在點(diǎn)P，使BP∥平面DA₁C₁，設(shè)，求出平面DA₁C₁的法向量n₃，根據(jù)法向量n₃與垂直求出λ的值，從而得到點(diǎn)P在C₁C的延長線上，且C₁C=CP．
解答：解：設(shè)BD與AC交于O，則BD⊥AC，連接A₁O，在△AA₁O中，AA₁=2，AO=1，∠A₁AO=60°，
所以A₁O²=AA₁²+AO²-2AA₁•AOcos60°=3，
所以AO²+A₁O²=AA₁²，所以A₁O⊥AO．
由于平面AA₁C₁C⊥平面ABCD，所以A₁O⊥平面ABCD．
以O(shè)B，OC，OA₁所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A（0，-1，0），，C（0，1，0），，，
（I）由于，，∴BD⊥AA₁
（II）由于OB⊥平面AA₁C₁C，
∴平面AA₁C₁C的一個(gè)法向量為n₁=（1，0，0）
設(shè)n₂⊥平面AA₁D，則，
設(shè)n₂=（x，y，z），則
取，∴
所以，二面角D-A₁A-C的平面角的余弦值為
（III）假設(shè)在直線CC₁上存在點(diǎn)P，使BP∥平面DA₁C₁，設(shè)，則，從而有

設(shè)n₃⊥平面DA₁C₁，則，又
設(shè)n₃=（x₃，y₃，z₃），則，取n₃=（1，0，-1）
因?yàn)锽P∥平面DA₁C₁，則λ=0，得λ=-1
即點(diǎn)P在C₁C的延長線上，且C₁C=CP
點(diǎn)評：本題主要考查了二面角及其度量，以及平面與平面平行的判定和空間中直線與直線之間的位置關(guān)系與空間向量，考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力，屬于中檔題．