Question

已知等差數(shù)列{a_n}中，公差d＞0，其前n項和為S_n，且滿足a₂•a₃=45，a₁+a₄=14．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)（n∈N^*），數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n，求證：；
（3）是否存在常數(shù)c（c≠0），使得數(shù)列為等差數(shù)列？若存在，試求出c；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)題意，由等差數(shù)列的性質(zhì)，有a₁+a₄=a₂+a₃=14，與a₂•a₃=45聯(lián)立，計算可得數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）根據(jù)題意，將數(shù)列{a_n}的通項公式代入b_n可得b_n的通項公式，進(jìn)而運算消項求和法，計算T_n，可以得證；
（3）首先計算Sn，代入數(shù)列，可得其通項公式，運用等差中項的性質(zhì)分析，可得答案．
解答：（1）解：∵等差數(shù)列{a_n}中，公差d＞0，
∴（4分）
（2）∵
∴，（6分）
＞0
∴T_n+1＞T_n
∴故（8分）
（3），=，
由2c₂=c₁+c₃得，化簡得2c²+c=0，c≠0，
∴
反之，令，即得c_n=2n，顯然數(shù)列{c_n}為等差數(shù)列，
∴當(dāng)且僅當(dāng)時，數(shù)列{c_n}為等差數(shù)列．（12分）
點評：本題考查等差數(shù)列的通項公式的運用，注意結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)分析，可以減少運算量，降低難度．