Question

已知冪函數(shù)y=f（x）的圖象過(guò)點(diǎn)（2，

2

2

），
（1）求函數(shù)y=f（x）的解析式，并用描點(diǎn)法畫(huà)出函數(shù)f（x）的圖象
（2）用定義證明函數(shù)的單調(diào)性．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)冪函數(shù)的特點(diǎn)，設(shè)所求的冪函數(shù)解析式是y=x^α．再將點(diǎn)（2，

2

2

），的坐標(biāo)值代入解析式，求得α的值．即可求得冪函數(shù)的具體解析式，再列表描點(diǎn)畫(huà)圖，首先列表，再根據(jù)表中的x、y對(duì)應(yīng)坐標(biāo)值，描點(diǎn)，畫(huà)出函數(shù)的圖象．
（2）先求出函數(shù)的定義域再作出判斷，然后再用定義法證明，可任取0＜x₁＜x₂，用定義證明．

解答：解：（1）由于冪函數(shù)y=f（x）的圖象過(guò)點(diǎn)（2，

2

2

），
設(shè)所求的冪函數(shù)解析式是y=x^α．由于所求圖象過(guò)點(diǎn)（2，

2

2

），
可得2α=

2

2

．
解得α=-

1

2

，所以函數(shù)y=f（x）的解析式f（x）=

1

x

，（x＞0）．
列表：

x	…	1 16	1 4	1	4	9	…
y	…	4	2	1	1 2	1 3	…

（2）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），函數(shù)在定義域上是減函數(shù)，證明如下：
任取0＜x₁＜x₂，則
f(x1)-f(x2)=

1

x1?

-

1

x2?

=

x2? - x1?

x1? × x2?

=

x2-x1

( x2? + x1? ) x1? × x2?

∵0＜x₁＜x₂，
∴x₂-x₁＞0，

x1

＞0，

x2

＞0，

x1

+

x2

＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂）
∴f（x）在（0，+∞），上是單調(diào)減函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查冪函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，本注意作題的格式先判斷后證明，用定義法證明時(shí)要注意證明的格式．