Question

10．設(shè){a_n}是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，S_n是{a_n}的前n項和．已知a₂a₄=16，S₃=28，則a₁a₂…a_n最大時，n的值為3或4．

Answer 1

分析 由題意列式求出等比數(shù)列的首項和公比，求出等比數(shù)列的通項公式，代入a₁a₂…a_n，然后結(jié)合二次函數(shù)求值得答案．

解答 解：∵{a_n}是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，S_n是{a_n}的前n項和．a(chǎn)₂a₄=16，S₃=28，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}q•{a}_{1}{q}^{3}=16}\\{\frac{{a}_{1}（1-{q}^{3}）}{1-q}=28}\\{q＞0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=8}\\{q=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$．
∴${a}_{n}=8•（\frac{1}{2}）^{n-1}={2}^{4-n}$．
則a₁a₂…a_n=2^{（4-1）+（4-2）+…+（4-n）}=${2}^{-\frac{{n}^{2}}{2}+\frac{7n}{2}}$．
∴當(dāng)n=3或n=4時，a₁a₂…a_n取最大值．
故答案為：3或4．

點評 本題考查等比數(shù)列的通項公式，考查等差數(shù)列的前n項和，是基礎(chǔ)的計算題．