Question

4．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)面PCD⊥底面ABCD，PD=DC=2，∠PDC=120°，E是線段PC的中點(diǎn)，$\overrightarrow{AF}$=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AB}$．
（Ⅰ）求證：EF⊥CD；
（Ⅱ）求點(diǎn)F到平面ADE的距離．

Answer 1

分析 （Ⅰ）證明：DC⊥面EFH，即可證明：EF⊥CD；
（Ⅱ）根據(jù)點(diǎn)F到平面ADE的距離等于點(diǎn)H到平面ADE的距離，即可求點(diǎn)F到平面ADE的距離．

解答 證明：（Ⅰ）在側(cè)面PCD中，PD=DC=2，∠PDC=120°，E是PC中點(diǎn)，
∴DE=1，
過E作EH⊥DC于H，連結(jié)FH，
∵底面ABCD是正方形，$\overrightarrow{AF}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}$，
即$AF=\frac{1}{2}$，
∴AFHD是矩形，
∴FH⊥DC，…（3分）
又EH⊥DC，EH∩FH=H，
∴DC⊥面EFH，…（5分）
又∵EF?面EFH，
∴DC⊥EF．                                   …（6分）
解：（II）由（I）知，F(xiàn)H∥平面ADE，
∴點(diǎn)F到平面ADE的距離等于點(diǎn)H到平面ADE的距離，…（7分）
∵底面ABCD是正方形，側(cè)面PCD⊥底面ABCD，
∴AD⊥側(cè)面PDC，
即AD⊥側(cè)面DEH，
∴AD⊥DE，
${V_{A-DEH}}=\frac{1}{3}•{S_{DEH}}•AD$，
在三棱錐H-ADE中，設(shè)點(diǎn)H到平面ADE的距離為d，則${V_{H-ADE}}=\frac{1}{3}•{S_{ADE}}•d$，…（9分）
由于V_H-ADE=V_A-DEH，
∴$\frac{1}{3}•{S_{DEH}}•AD$=$\frac{1}{3}•{S_{ADE}}•d$，
∴DH•EH•AD=AD•DE•d，
∴$\frac{1}{2}•\frac{{\sqrt{3}}}{2}•2$=2•1•d，…（11分）
∴$d=\frac{{\sqrt{3}}}{4}$，
即點(diǎn)F到平面ADE的距離為$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$．                          …（12分）

點(diǎn)評 本題考查線面垂直的證明，考查點(diǎn)到平面的距離的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．