Question

設函數(shù)f（x）=log_ax（a＞0，a≠1），
（1）若不等式f（x）-x²＞0在（0，

1

2

）內恒成立，求a的取值范圍；
（2）判斷是否存在大于1的實數(shù)a，使得對任意x₁∈[a，2a]，都有x₂∈[a，a²]滿足等式：f（x₁）+f（x₂）=p，且滿足該等式的常數(shù)p的取值唯一？若存在，求出所有符合條件的a的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：對數(shù)函數(shù)的圖像與性質

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：（1）將問題轉化為在(0，

1

2

)內y=log_ax圖象在y=x²圖象的上方，得不等式組，解出即可；
（2）由題意得log_ax₁+log_ax₂=log_a（x₁x₂）=p，把x₂看作x₁的函數(shù)x2=

ap

x1

，其在區(qū)間[a，2a]上單調遞減，得不等式組，解出即可．

解答： 解：（1）不等式logax＞x2在(0，

1

2

)內恒成立，
所以在(0，

1

2

)內y=log_ax圖象在y=x²圖象的上方，
∴

0＜a＜1 loga 1 2 ≥( 1 2 )2

，∴

1

16

≤a＜1．
（2）假設存在大于1的實數(shù)a滿足條件，
由f（x₁）+f（x₂）=p，即log_ax₁+log_ax₂=log_a（x₁x₂）=p，
∴x1x2=ap，
把x₂看作x₁的函數(shù)x2=

ap

x1

，其在區(qū)間[a，2a]上單調遞減，
∴x₁∈[a，2a]時，x2∈[

ap

2a

，

ap

a

]，
∴

ap 2a ≥a ap a ≤a2

，∴

p≥2+loga2 p≤3

，
因為常數(shù)p的取值唯一，所以2+

log

2 a

=3，解得：a=2，
所以存在大于1的實數(shù)a，且a=2．

點評：本題考查了對數(shù)函數(shù)的性質，考查了轉化思想，是一道中檔題．