【題目】我們國(guó)家正處于老齡化社會(huì)中,老有所依也是政府的民生工程.某市共有戶籍人口400萬(wàn),其中老人(年齡60歲及以上)人數(shù)約有66萬(wàn),為了了解老人們的健康狀況,政府從老人中隨機(jī)抽取600人并委托醫(yī)療機(jī)構(gòu)免費(fèi)為他們進(jìn)行健康評(píng)估,健康狀況共分為不能自理、不健康尚能自理、基本健康、健康四個(gè)等級(jí),并以80歲為界限分成兩個(gè)群體進(jìn)行統(tǒng)計(jì),樣本分布被制作成如下圖表:

1)若采用分層抽樣的方法再?gòu)臉颖局械牟荒茏岳淼睦先酥谐槿?/span>8人進(jìn)一步了解他們的生活狀況,則兩個(gè)群體中各應(yīng)抽取多少人?

2)估算該市80歲及以上長(zhǎng)者占全市戶籍人口的百分比;

3)據(jù)統(tǒng)計(jì)該市大約有五分之一的戶籍老人無(wú)固定收入,政府計(jì)劃為這部分老人每月發(fā)放生活補(bǔ)貼,標(biāo)準(zhǔn)如下:

①80歲及以上長(zhǎng)者每人每月發(fā)放生活補(bǔ)貼200元;

②80歲以下老人每人每月發(fā)放生活補(bǔ)貼120元;

③不能自理的老人每人每月額外發(fā)放生活補(bǔ)貼100元.

利用樣本估計(jì)總體,試估計(jì)政府執(zhí)行此計(jì)劃的年度預(yù)算.(單位:億元,結(jié)果保留兩位小數(shù))

【答案】(1)80歲及以上應(yīng)抽取: ,80歲以下應(yīng)抽。 人;(2) ;(3)2.22億元.

【解析】試題分析:(Ⅰ)從圖表中求出不能自理的80歲及以上長(zhǎng)者占比,由此能求出抽取16人中不能自理的80歲及以上長(zhǎng)者人數(shù)為.
(Ⅱ)求出在600人中80歲及以上長(zhǎng)者在老人中占比,用樣本估計(jì)總體,能求出80歲及以上長(zhǎng)者占戶籍人口的百分比.
(Ⅲ)用樣本估計(jì)總體,設(shè)任一戶籍老人每月享受的生活補(bǔ)助為X元,則Xr可能取值為0,120,200,220,300,分別求出相應(yīng)的概率,由此能求出隨機(jī)變量X的分布列、EX,從而能估計(jì)政府執(zhí)行此計(jì)劃的年度預(yù)算.

試題解析:

(1)數(shù)據(jù)整理如下表:

從圖表中知不能自理的歲及以上長(zhǎng)者比為:

故抽取人中不能自理的歲及以上長(zhǎng)者人數(shù)為

歲以下長(zhǎng)者人數(shù)為

(2)在人中歲及以上長(zhǎng)者在老人中占比為:

用樣本估計(jì)總體, 歲及以上長(zhǎng)者共有萬(wàn),

歲及以上長(zhǎng)者占戶籍人口的百分比為%=%,

(3)用樣本估計(jì)總體,設(shè)任一戶籍老人每月享受的生活補(bǔ)助為元,

則隨機(jī)變量的分布列為:

全市老人的總預(yù)算為元,

政府執(zhí)行此計(jì)劃的年度預(yù)算約為億元.

求解離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的一般步驟為:

第一步是“判斷取值”,即判斷隨機(jī)變量的所有可能取值,以及取每個(gè)值所表示的意義;

第二步是“探求概率”,即利用排列組合,枚舉法,概率公式(常見的有古典概型公式、幾何概率公式、互斥事件的概率和公式、獨(dú)立事件的概率積,以及對(duì)立事件的概率公式等),求出隨機(jī)變量取每個(gè)值時(shí)的概率;

第三步是“寫分布列”,即按規(guī)范形式寫出分布列,并注意用分布列的性質(zhì)檢驗(yàn)所求的分布列或某事件的概率是否正確;

第四步是“求期望值”,一般利用離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的定義求期望的值,對(duì)于有些實(shí)際問(wèn)題中的隨機(jī)變量,如果能夠斷定它服從某常見的典型分布(如二項(xiàng)分布,則此隨機(jī)變量的期望可直接利用這種典型分布的期望公式()求得.因此,應(yīng)熟記常見的典型分布的期望公式,可加快解題速度.

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