Question

2．已知函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=$\frac{1}{2}{x^2}$-2x，當(dāng)x＞2時k（x-2）＜xf（x）+2g'（x）+3恒成立，則整數(shù)k最大值為5．

Answer 1

分析 k（x-2）＜xf（x）+2g′（x）+3恒成立，等價于k（x-2）＜xlnx+2（x-2）+3對一切x∈（2，+∞）恒成立，分離參數(shù)，從而可轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值問題，利用導(dǎo)數(shù)即可求得，即可求實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：因為當(dāng)x＞2時，不等式k（x-2）＜xf（x）+2g′（x）+3恒成立，
即k（x-2）＜xlnx+2（x-2）+3對一切x∈（2，+∞）恒成立，
亦即k＜$\frac{xlnx+2x-1}{x-2}$=$\frac{xlnx+3}{x-2}$+2對一切x∈（2，+∞）恒成立，
所以不等式轉(zhuǎn)化為k＜$\frac{xlnx+3}{x-2}$+2對任意x＞2恒成立．
設(shè)p（x）=$\frac{xlnx+3}{x-2}$+2，則p′（x）=$\frac{x-2lnx-5}{{（x-2）}^{2}}$，
令r（x）=x-2lnx-5（x＞2），則r′（x）=1-$\frac{2}{x}$=$\frac{x-2}{x}$＞0，
所以r（x）在（2，+∞）上單調(diào)遞增．
因為r（9）=4（1-ln3）＜0，r（10）=5-2ln10＞0，
所以r（x）=0在（2，+∞）上存在唯一實根x₀，且滿足x₀∈（9，10），
當(dāng)2＜x＜x₀時，r（x）＜0，即p′（x）＜0；
當(dāng)x＞x₀時，r（x）＞0，即p′（x）＞0．
所以函數(shù)p（x）在（2，x₀）上單調(diào)遞減，在（x₀，+∞）上單調(diào)遞增，
又r（x₀）=x₀-2lnx₀-5=0，所以2lnx₀=x₀-5．
所以[p（x）]_min=p（x₀）=$\frac{{x}_{0}l{nx}_{0}+3}{{x}_{0}-2}$+2=$\frac{{x}_{0}-3}{2}$+2∈（5，6），
所以k＜[p（x）]_min∈（5，6），
故整數(shù)k的最大值是5． 
故答案為：5．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查恒成立問題，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．