Question

7．把半橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（x≥0）與圓弧（x-c）²+y²=a²（x＜0）合成的曲線稱作“曲圓”，其中F（c，0）為半橢圓的右焦點(diǎn)．如圖，A₁，A₂，B₁，B₂
分別是“曲圓”與x軸、y軸的交點(diǎn)，已知∠B₁FB₂=$\frac{2π}{3}$，扇形FB₁A₁B₂的面
積為$\frac{4π}{3}$．
（1）求a，c的值； 
（2）過點(diǎn)F且傾斜角為θ的直線交“曲圓”于P，Q兩點(diǎn)，試將△A₁PQ的周長L表示為θ的函數(shù)；
（3）在（2）的條件下，當(dāng)△A₁PQ的周長L取得最大值時(shí)，試探究△A₁PQ的面積是否為定值？若是，請求出該定值；若不是，請求出面積的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由扇形FB₁A₁B₂的面積為可得a，在△OFB₂中，tan∠OFB₂=tan60°=$\frac{c}=\sqrt{3}$，又因?yàn)閏²+b²=a²，可得c．
（2）分 ①當(dāng)θ∈（0，$\frac{π}{3}$）；  ②當(dāng)θ∈（$\frac{2π}{3}，π$）；  ③當(dāng)θ∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$）求出△A₁PQ的周長；
 （3）在（2）的條件下，當(dāng)△A₁PQ的周長L取得最大值時(shí)P、Q在半橢圓：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$（x≥0）上，
利用弦長公式、點(diǎn)到直線的距離公式，表示面積，再利用單調(diào)性求出范圍．

解答 解：（1）∵扇形FB₁A₁B₂的面積為$\frac{1}{2}×\frac{2π}{3}×{a}^{2}$=$\frac{4π}{3}$，∴a=2，圓�。▁-c）²+y²=a²（x＜0）與y軸交點(diǎn)B₂（0，b），
在△OFB₂中，tan∠OFB₂=tan60°=$\frac{c}=\sqrt{3}$，又因?yàn)閏²+b²=a²，∴c=1．
（2）顯然直線PQ的斜率不能為0（θ∈（0，π）），故設(shè)PQ方程為：x=my+1
由（1）得半橢圓方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$（x≥0）與圓弧方程為：（x-1）²+y²=4（x＜0），且A₁（-1，0）恰為橢圓的左焦點(diǎn)．
①當(dāng)θ∈（0，$\frac{π}{3}$）時(shí)，P、Q分別在圓�。海▁-1）²+y²=4（x＜0）、半橢圓：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$（x≥0）上，
△A₁PO為腰為2的等腰三角形|A₁P|=4sin$\frac{θ}{2}$，
△A₁PQ的周長L=|QA₁|+|QF|+|PF|+|A₁P|=2a+a+|A₁P|=6+4sin$\frac{θ}{2}$，
②當(dāng)θ∈（$\frac{2π}{3}，π$）時(shí)，P、Q分別在圓�。海▁-1）²+y²=4（x＜0）、半橢圓：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$（x≥0）上，
△A₁PO為腰為2的等腰三角形|A₁P|=4cos$\frac{θ}{2}$，
△A₁PQ的周長L=|QA₁|+|QF|+|PF|+|A₁P|=2a+a+|A₁P|=6+4cos$\frac{θ}{2}$，
③當(dāng)θ∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$）時(shí)，P、Q在半橢圓：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$（x≥0）上，
△A₁PO為腰為2的等腰三角形|A₁P|=4sin$\frac{θ}{2}$，
△A₁PQ的周長L=|QA₁|+|QF|+|PF|+|A₁P|=4a=8

 （3）在（2）的條件下，當(dāng)△A₁PQ的周長L取得最大值時(shí)P、Q在半橢圓：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$（x≥0）上，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x=my+1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$得（3m²+4）y²+6my-9=0
y₁+y₂=$\frac{-6m}{3+4{m}^{2}}$，y₁y_2⁼$\frac{-9}{3{m}^{2}+4}$．
|PQ|=$\sqrt{1+{m}^{2}}\frac{\sqrt{144+144{m}^{2}}}{3{m}^{2}+4}=\frac{12（{m}^{2}+1）}{3{m}^{2}+4}$，點(diǎn)A₁到PQ的距離d=$\frac{2}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$．
△A₁PQ的面積s=$\frac{1}{2}$|PQ|•d=12$\frac{\sqrt{{m}^{2}+1}}{3{m}^{2}+4}$．
令m²+1=t，t∈[1，$\frac{4}{3}$]，s=12$\frac{\sqrt{{m}^{2}+1}}{3{m}^{2}+4}$=12$\sqrt{\frac{t}{9{t}^{2}+6t+1}}=\sqrt{\frac{1}{9t+\frac{1}{t}+6}}$；
∵g（t）=9t+$\frac{1}{t}$在[1，+$\frac{4}{3}$]上遞增，∴g（1）≤g（t）≤g（$\frac{4}{3}$），；10≤g（t）≤$\frac{75}{4}$，
 $\frac{8\sqrt{3}}{5}$≤s≤3
∴△A₁PQ的面積不為定值，面積的取值范圍為：[$\frac{8\sqrt{3}}{5}，3$]

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓中參數(shù)的求法，考查三角形周長的最大值滿足的條件的證明，考查弦長的取值范圍的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意橢圓弦長公式的合理運(yùn)用