Question

20．已知橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的離心率為$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，短半軸的長為2．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若橢圓C的左焦點為F，上頂點為A，與直線FA平行的直線l與橢圓C相切，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）由已知得b，結(jié)合橢圓離心率及隱含條件求得a，c，則橢圓方程可求；
（2）由（1）求得F、A的坐標(biāo)，進一步求出與直線FA平行的直線l的方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用判別式等于0求解．

解答 解：（1）∵a²=b²+c²，且b=2，∴a²=4+c²，…（2分）
又 $\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，…（3分）
以上二式聯(lián)立，解得$a=\sqrt{5}，\;\;c=1$．…（5分）
∴橢圓C的方程$\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{4}=1$； …（6分）
（2）由（1）得，點F，A的坐標(biāo)分別為（-1，0），（0，2），
∴直線FA的斜率為$\frac{0-2}{-1-0}=2$，…（7分）
∵直線FA與直線l平行，
∴直線l的斜率為2，設(shè)直線l的方程為y=2x+m，…（8分）
與$\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{4}=1$聯(lián)立消去y，得24x²+20mx+5m²-20=0．…（9分）
∵直線l與橢圓C相切，
∴△=（20m）²-4×24（5m²-20）=0，解得$m=±2\sqrt{6}$．…（11分）
∴直線l的方程為$y=2x±2\sqrt{6}$．…（12分）

點評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，考查了直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，是中檔題．