Question

10．雙曲線E₁：$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{5}$=1的左右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，橢圓E₂：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）與雙曲線E₁有公共的焦點，且E₁，E₂在第一象限和第四象限的交點分別為M，N，弦MN過F₂，則橢圓E₂的標準方程為（　　）

• A． $\frac{{x}^{2}}{\frac{81}{4}}$+$\frac{{y}^{2}}{\frac{45}{4}}$=1
• B． $\frac{{x}^{2}}{13}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1
• C． $\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{7}$=1
• D． $\frac{{x}^{2}}{5}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1

Answer 1

分析 求出橢圓的焦點坐標，然后求解橢圓與雙曲線的交點坐標，代入橢圓方程，求解即可．

解答 解：雙曲線E₁：$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{5}$=1的左右焦點分別為F₁（-3，0），F(xiàn)₂（3，0），
橢圓E₂：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）與雙曲線E₁有公共的焦點，
可得橢圓c=3，且E₁，E₂在第一象限和第四象限的交點分別為M，N，
弦MN過F₂，可得雙曲線與橢圓的交點坐標M（3，$\frac{5}{2}$），
可得：$\frac{9}{{a}^{2}}+\frac{25}{4（{a}^{2}-9）}=1$，解得a=$\frac{9}{2}$，則b=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$．
所求的橢圓方程為：$\frac{{x}^{2}}{\frac{81}{4}}$+$\frac{{y}^{2}}{\frac{45}{4}}$=1．
故選：A．

點評 本題考查橢圓的簡單性質以及雙曲線簡單性質的應用，橢圓方程的求法，考查轉化思想以及計算能力．