Question

已知函數(shù)f（x）=x+

a

x

+b（x≠0）．，其中a，b∈R
（1）若曲線y=f（x）在點(diǎn)P（2，f（2））處的切線方程為y=3x+1，求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）當(dāng)a＞0時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由函數(shù)在x=2處的導(dǎo)數(shù)值得到a的值，再由點(diǎn)在直線上得到b的值，則函數(shù)解析式可求；
（2）由導(dǎo)函數(shù)等于0求得導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，利用導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)對定義域分段，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)在不同區(qū)間段內(nèi)的符號得到函數(shù)的單調(diào)性．

解答： 解：（1）由f（x）=x+

a

x

+b（x≠0），得
f′(x)=1-

a

x2

，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得f'（2）=3，于是a=-8，
由切點(diǎn)P（2，f（2））在直線y=3x+1上可得-2+b=7，解得b=9，
∴函數(shù)f（x）的解析式為f(x)=x-

8

x

+9；
（2）f′(x)=1-

a

x2

，當(dāng)a＞0時，令f'（x）=0，解得x=±

a

，
當(dāng)x變化時，f'（x），f（x）的變化情況如下表：

x	（-∞，- a ）	- a	（- a ，0）	（0， a ）	a	（ a ，+∞）
f'（x）	+	0	-	-	0	+
f（x）		極大值			極小值

∴f（x）在（-∞，-

a

），（

a

，+∞）上是增函數(shù)，在（-

a

，0），（0，

a

）上是減函數(shù)．

點(diǎn)評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求過曲線上某點(diǎn)處的切線方程，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，是中檔題．