設(shè)x，y為正數(shù)，且x+y=1，用反證法證明：（
1
x2
-1）（
1
y2
-1）≥9．
考點(diǎn)：反證法與放縮法
專題：推理和證明
分析：直接利用反證法的證明步驟，反設(shè)所證明的不等式，推出錯(cuò)誤結(jié)論（2x-1）2＜0，即可證明原不等式成立．
解答： 證明：假設(shè)(
1
x2
-1)(
1
y2
-1)＜9，由于x，y＞0，且x+y=1，所以(
1
x2
-1)(
1
y2
-1)=
(1+x)(1-x)
x2
×
(1+y)(1-y)
y2
=
(1+x)y
x2
×
(1+y)x
y2
=
1+x
x
×
1+y
y

=
1+x
x
×
2-x
1-x
＜9，
由此得（2x-1）2＜0，這是不可能的．
故原不等式成立．
點(diǎn)評(píng)：本題考查不等式的證明，反證法的應(yīng)用，注意：正確推理過(guò)程得到錯(cuò)誤結(jié)論是解題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，已知在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1（側(cè)棱垂直底面的棱柱）中，AD⊥DC，AB∥DC，DC=DD1=2AD=2AB=2．
（1）求證：DB⊥平面B1BCC1；
（2）求BC1與平面A1BD所成的角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

集合A={2，4，5}的子集個(gè)數(shù)為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是橢圓
y2
2
+x2=1的上焦點(diǎn)，離心率為
2
5
5
．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)F作直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)M，若
MA
=m
FA
，
MB
=n
FB
，求m+n的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知z1=x2+
x2+1
i，z2=（x2+a）i，對(duì)于任意x∈R，均有|z1|＞|z2|成立，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x）=
-2x+b
2x+1+2
是奇函數(shù)．
（1）求b的值；
（2）判斷函數(shù)f（x）在R上的單調(diào)性并加以證明；
（3）若對(duì)任意的t∈R，不等式f（t2-2t）+f（2t2-k）＜0恒成立，求k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

某人在靜水中游泳，速度為4
3
公里/小時(shí)，他在水流速度為4公里/小時(shí)的河中游泳．
（1）若他垂直游向河對(duì)岸，則他實(shí)際沿什么方向前進(jìn)？實(shí)際前進(jìn)的速度為多少？
（2）他必須朝哪個(gè)方向游，才能沿與水流垂直的方向前進(jìn)？實(shí)際前進(jìn)的速度為多少？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

平面內(nèi)給定三個(gè)向量
a
=（3，2），
b
=（-1，2），
c
=（4，1）．
（1）若（
a
+k
c
）⊥（2
b
-
a
），求實(shí)數(shù)k；
（2）若向量
d
滿足
d
∥
c
，且|
d
|=
34
，求向量
d
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x+
a
x
+b（x≠0）．，其中a，b∈R
（1）若曲線y=f（x）在點(diǎn)P（2，f（2））處的切線方程為y=3x+1，求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）當(dāng)a＞0時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

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