Question

已知函數(shù)f（x）=x²+bx+c（b、c∈R）且當(dāng)x≤1時(shí)，f（x）≥0，當(dāng)1≤x≤3時(shí)，f（x）≤0恒成立．
（1）求b、c之間的關(guān)系式；
（2）當(dāng)c≥3時(shí)，是否存在實(shí)數(shù)m使得g（x）=f（x）-m²x在區(qū)間（0，+∞）上是單調(diào)函數(shù)？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由f（1）=0可得答案．
（2）先假設(shè)存在m滿足條件，再寫出函數(shù)g（x）的解析式故居其在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)進(jìn)行解題．

解答：解：（1）由已知f（1）≥0與f（1）≤0同時(shí)成立，則必有f（1）=0，故b+c+1=0．
（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)m，使?jié)M足題設(shè)的g（x）存在．
∵g（x）=f（x）-m²x=x²+（b-m²）x+c開口向上，且在[

m2-b

2

，+∞）上單調(diào)遞增，
∴

m2-b

2

≤0．∴b≥m²≥0．
∵c≥3，∴b=-（c+1）≤-4．
這與上式矛盾，從而能滿足題設(shè)的實(shí)數(shù)m不存在．

點(diǎn)評：本題主要考查一元二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)．一元二次函數(shù)的對稱性、最值、單調(diào)性是每年高考必考內(nèi)容，要引起重視．