Question

2．設(shè)f₁（x）=cosx，定義f_n+1（x）是f_n（x）的導(dǎo)數(shù)，即f_n+1（x）=f_n′（x），n∈N^*，若△ABC的內(nèi)角A滿足f₁（A）+f₂（A）+…+f₂₀₁₄（A）=0，則sinA=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 由已知分別求出f₂（x），f₃（x），f₄（x），f₅（x），得到從第五項開始，f_n（x）的解析式重復(fù)出現(xiàn)，每4次一循環(huán)，再結(jié)合f₁（A）+f₂（A）+…+f₂₀₁₃（A）+f₂₀₁₄（A）=0得到cosA-sinA=0，則A可求

解答 解：∵f₁（x）=cosx，
∴f₂（x）=f₁′（x）=-sinx，
f₃（x）=f₂′（x）=-cosx，
f₄（x）=f₃′（x）=sinx，
f₅（x）=f₄′（x）=cosx，
…
從第五項開始，f_n（x）的解析式重復(fù)出現(xiàn)，每4次一循環(huán)．
∴f₁（x）+f₂（x）+f₃（x）+f₄（x）=0
∴f₂₀₁₃（x）=f_4×503+1（x）=f₁（x）=cosx，
f₂₀₁₄（x）=）=f_4×503+2（x）=f₂（x）=-sinx，
∵f₁（A）+f₂（A）+…+f₂₀₁₃（A）+f₂₀₁₄（A）=0，
∴cosA-sinA=0，
∵A為三角形的內(nèi)角
∴sinA=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題考查了導(dǎo)數(shù)的運算，考查了基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，關(guān)鍵是規(guī)律的發(fā)現(xiàn)．是中檔題