Question

已知函數(shù)f（log₄x）=log₄（x+1）+klog₄x（k∈R）．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若f（x）為偶函數(shù)，求實(shí)數(shù)k的值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，若函數(shù)g(x)=log4m-f(x)+

3

2

x在（0，+∞）上存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）令t=log₄x，則有x=4^t，f（t）=log4(4t+1)+kt，由此可得函數(shù)f（x）的解析式．
（Ⅱ）若f（x）為偶函數(shù)，則f（-x）=f（x），化簡(jiǎn)可得-log44x=2kx，即（ 2k+1）x=0，由此求得 k的值．
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，f（x）=log4(4x+1)-

1

2

x，由題意可得log₄m=log4(4x+1)-2x=log4(

1

4x

+

1

42x

)．令

1

4x

=t，則 1＞t＞0，且log₄m=log4(t+t2)．由二次函數(shù)的性質(zhì)可得 0＜t²+t＜2，由此可得實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）令t=log₄x，則有x=4^t，f（t）=log4(4t+1)+kt，故函數(shù)f（x）的解析式為 f（x）=log4(4x+1)+kx．
（Ⅱ）若f（x）為偶函數(shù)，則f（-x）=f（x） log4(4-x+1)-kx=log4(4x+1)+kx，化簡(jiǎn)可得-log44x=2kx，
即（ 2k+1）x=0，∴k=-

1

2

．
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，f（x）=log4(4x+1)-

1

2

x，
函數(shù)g(x)=log4m-f(x)+

3

2

x=log₄m-log4(4x+1)+2x 在（0，+∞）上存在零點(diǎn)，
故有 log₄m=log4(4x+1)-2x=log4

4x+1

42x

=log4(

1

4x

+

1

42x

)．
令

1

4x

=t，則 1＞t＞0，log₄m=log4(t+t2)．
由二次函數(shù)的性質(zhì)可得 0＜t²+t＜2，
∴0＜m＜2，故實(shí)數(shù)m的取值范圍為（0，2）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)應(yīng)用，函數(shù)的零點(diǎn)的定義、二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．