Question

20．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}{x}^{3}+\frac{1}{2}a{x}^{2}+2bx+c（a，b，c∈R）$，且函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)取得極大值，在區(qū)間（1，2）內(nèi)取得極小值，則z=（a+3）²+b²的取值范圍為（$\frac{1}{2}$，4）．

Answer 1

分析 求出函數(shù)f（x）的導數(shù)，得到關于a，b的不等式組，問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題，求出z=（a+3）²+b²的范圍即可．

解答 解：∵f（x）=$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$a x²+2bx+c
∴f′（x）=x²+ax+2b
∵函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)取得極大值，在區(qū)間（1，2）內(nèi)取得極小值
∴f′（x）=x²+ax+2b=0在（0，1）和（1，2）內(nèi)各有一個根
f′（0）＞0，f′（1）＜0，f′（2）＞0
即 $\left\{\begin{array}{l}{b＞0}\\{a+2b+1＜0}\\{a+b+2＞0}\end{array}\right.$，
（a+3）²+b²表示點（a，b）到點（-3，0）的距離的平方，
如圖示：

由圖知（-3，0）到直線a+b+2=0的距離$\frac{\sqrt{2}}{2}$，平方為$\frac{1}{2}$為最小值，
（-3，0）與（-1，0）的距離2，平方為4為最大值，
故z=（a+3）²+b²的取值范圍為（$\frac{1}{2}$，4），
故答案為：（$\frac{1}{2}$，4）．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查簡單的線性規(guī)劃問題，是一道中檔題．