【題目】已知橢圓的左右焦點分別為,且.過橢圓的右焦點作長軸的垂線與橢圓,在第一象限交于點,且滿足.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)若矩形的四條邊均與橢圓相切,求該矩形面積的取值范圍.
【答案】(1)(2)
【解析】
(1)易知,設(shè),,根據(jù)勾股定理計算得到,得到橢圓方程.
(2)考慮矩形邊與坐標軸平行和不平行兩種情況,聯(lián)立方程組根據(jù)得到和的關(guān)系,計算邊長得到面積表達式,根據(jù)均值不等式計算得到答案.
(1)由,可知橢圓半焦距,
設(shè),因為,所以,
在△中,,即,所以,
所以,解得,所以橢圓的標準方程為.
(2)記矩形面積為,當矩形一邊與坐標軸平行時,易知.
當矩形的邊與坐標軸不平行時,根據(jù)對稱性,設(shè)其中一邊所在直線方程為,
則對邊所在直線方程為,
另一邊所在的直線方程為,則對邊所在直線方程為,
聯(lián)立,得,
由題意知,整理得,
矩形的一邊長為,同理,矩形的另一邊長為,
,
因為,所以,所以(當且僅當時等號成立),
所以,則,所以.
綜上所述,該矩形面積的取值范圍為.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某市場研究人員為了了解產(chǎn)業(yè)園引進的甲公司前期的經(jīng)營狀況,對該公司2018年連續(xù)六個月的利潤進行了統(tǒng)計,并根據(jù)得到的數(shù)據(jù)繪制了相應(yīng)的折線圖,如圖所示
(1)由折線圖可以看出,可用線性回歸模型擬合月利潤(單位:百萬元)與月份代碼之間的關(guān)系,求關(guān)于的線性回歸方程,并預(yù)測該公司2019年3月份的利潤;
(2)甲公司新研制了一款產(chǎn)品,需要采購一批新型材料,現(xiàn)有,兩種型號的新型材料可供選擇,按規(guī)定每種新型材料最多可使用個月,但新材料的不穩(wěn)定性會導致材料損壞的年限不相同,現(xiàn)對,兩種型號的新型材料對應(yīng)的產(chǎn)品各件進行科學模擬測試,得到兩種新型材料使用壽命的頻數(shù)統(tǒng)計如下表:
使用壽命 材料類型 | 個月 | 個月 | 個月 | 個月 | 總計 |
如果你是甲公司的負責人,你會選擇采購哪款新型材料?
參考數(shù)據(jù):,.參考公式:回歸直線方程為,其中 .
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系中,已知圓的方程為,圓的方程為,動圓與圓內(nèi)切且與圓外切.
(1)求動圓圓心的軌跡的方程;
(2)已知與為平面內(nèi)的兩個定點,過點的直線與軌跡交于,兩點,求四邊形面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在直角坐標系中中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù),).以坐標原點為極點,軸正半軸為極軸建立極坐標系,已知直線的極坐標方程為.
(1)設(shè)是曲線上的一個動點,當時,求點到直線的距離的最大值;
(2)若曲線上所有的點均在直線的右下方,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知,拋物線C:的焦點到直線l:的距離為.
(1)求m的值.
(2)如圖,已知拋物線C的動弦的中點M在直線l上,過點M且平行于x軸的直線與拋物線C相交于點N,求面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓過點,且其離心率為,過坐標原點作兩條互相垂直的射線與橢圓分別相交于,兩點.
(1)求橢圓的方程;
(2)是否存在圓心在原點的定圓與直線總相切?若存在,求定圓的方程;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】動點到點的距離與到直線的距離的比值為.
(1)求動點的軌跡的方程;
(2)過點的直線與點的軌跡交于兩點,,設(shè)點,到直線的距離分別為,,當時,求直線的方程.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知x與y之間的幾組數(shù)據(jù)如表:
x | 1 | 2 | 3 | 4 |
y | 1 | m | n | 4 |
如表數(shù)據(jù)中y的平均值為2.5,若某同學對m賦了三個值分別為1.5,2,2.5,得到三條線性回歸直線方程分別為,,,對應(yīng)的相關(guān)系數(shù)分別為,,,下列結(jié)論中錯誤的是( )
參考公式:線性回歸方程中,其中,.相關(guān)系數(shù).
A.三條回歸直線有共同交點B.相關(guān)系數(shù)中,最大
C.D.
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