【題目】已知函數(shù)．

（1）試討論的單調(diào)性；

（2）若有兩個極值點， ，且，求證： ．

【答案】（1）見解析（2）見解析

【解析】試題分析：（1）求導(dǎo)， ，討論兩種情況即可得解（2）， 由題意， 是方程的兩個根，所以，① ，②聯(lián)立①②得出，所以令，所以， ，因此只需證明當時，不等式 成立即可，即不等式成立，構(gòu)造差函數(shù)研究單調(diào)性即可得證.

試題解析：

（1）函數(shù)的定義域為， ，

令， ，

當時，解得，此時在上恒成立，

故可得在上恒成立，即當時， 在上單調(diào)遞增．

當時，解得或，

方程的兩根為和，

當時，可知， ，此時在上， 在上單調(diào)遞增；

當時，易知， ，此時可得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．

綜上可知，當時， 在上單調(diào)遞增；

當時， 在區(qū)間和區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減．

（2），

，由題意， 是方程的兩個根，所以，①

，②

①②兩式相加可得，③

①②兩式相減可得，④

由③④兩式消去可得，

所以，

設(shè)，因為，所以，所以， ，

因此只需證明當時，不等式 成立即可，即不等式成立．

設(shè)函數(shù)，由（1）可知， 在上單調(diào)遞增，故，即證得當時， ，亦即證得，

所以，即證得．

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

（1）試討論的單調(diào)性；

（2）若有兩個極值點， ，且，求證： ．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn.已知2Sn＝3n＋3.

(1)求{an}的通項公式；

(2)若數(shù)列{bn}滿足anbn＝log3an，求{bn}的前n項和Tn.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若關(guān)于的不等式恒成立，求整數(shù)的最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在直角坐標系xOy中，以原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系．已知曲線C：ρsin2θ＝2acos θ(a>0)，過點P(－2，－4)的直線l的參數(shù)方程為,直線l與曲線C分別交于M，N兩點．若|PM|，|MN|，|PN|成等比數(shù)列，則a的值為________.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù) (m、n為常數(shù)，e = 2.718 28…是自然對數(shù)的底數(shù))，曲線y = f (x)在點(1，f (1))處的切線方程是．

(Ⅰ)求m、n的值；

(Ⅱ)求f (x)的最大值；

(Ⅲ)設(shè) (其中為f (x)的導(dǎo)函數(shù))，證明：對任意x > 0，都有．

(注： )

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】下列說法：

①將一組數(shù)據(jù)中的每個數(shù)據(jù)都加上或減去同一個常數(shù)后，方差恒不變；

②設(shè)有一個回歸方程＝3－5x，變量x增加一個單位時，y平均增加5個單位；

③線性回歸方程＝x＋必過(，)；

④在一個2×2列聯(lián)表中，由計算得K2＝13.079，則有99%以上的把握認為這兩個變量間有關(guān)系．

其中錯誤的個數(shù)是(　　)

本題可以參考獨立性檢驗臨界值表：

P(K2≥k0)

0.50

0.40

0.25

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

k0

0.455

0.708

1.323

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

A. 0 B. 1

C. 2 D. 3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知點及圓.

（1）設(shè)過點的直線與圓交于兩點，當時，求以線段為直徑的圓的方程；

（2）設(shè)直線與圓交于兩點，是否存在實數(shù)，使得過點的直線垂直平分弦？若存在，求出實數(shù)的值；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，已知是直角梯形， ， ， ， ， 平面．

（Ⅰ）上是否存在點使平面，若存在，指出的位置并證明，若不存在，請說明理由；（Ⅱ）證明： ；

（Ⅲ）若，求點到平面的距離．

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