Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1 （a＞b＞0）與直線x+y-1=0相交于A，B兩點(diǎn)．
（1）當(dāng)橢圓的半焦距c=1，且a²，b²，c²成等差數(shù)列時(shí)，求橢圓的方程；
（2）在（1）的條件下，求弦AB的長度；
（3）當(dāng)橢圓的離心率e滿足

3

3

≤e≤

2

2

，且以AB為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O，求橢圓長軸長的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用橢圓的半焦距c=1，且a²，b²，c²成等差數(shù)列，建立等式，結(jié)合a²-b²=c²=1，即可求得橢圓的方程；
（2）直線x+y-1=0與橢圓方程

x2

3

+

y2

2

=1聯(lián)立，消去y可得5x²-6x-3=0，再利用弦長公式，即可求得結(jié)論；
（3）直線x+y-1=0與橢圓方程：

x2

a2

+

y2

b2

=1聯(lián)立，消去y，利用韋達(dá)定理及以AB為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O，用a表示出離心率，結(jié)合橢圓的離心率e滿足

3

3

≤e≤

2

2

，即可求得橢圓長軸長的取值范圍．

解答：解：（1）∵橢圓的半焦距c=1，且a²，b²，c²成等差數(shù)列
∴2b²=a²+c²=a²+1
∵a²-b²=c²=1
∴a²=3，b²=2
∴橢圓的方程為

x2

3

+

y2

2

=1；
（2）直線x+y-1=0與橢圓方程

x2

3

+

y2

2

=1聯(lián)立，消去y可得5x²-6x-3=0，∴x=

6±4 6

10

=

3±2 6

5

∴弦AB的長度為

1+1

•|

3+2 6

5

-

3-2 6

5

|=

8 3

5

；
（3）直線x+y-1=0與橢圓方程：

x2

a2

+

y2

b2

=1聯(lián)立，消去y可得（a²+b²）x²-2a²x+a²-a²b²=0
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=

2a2

a2+b2

，x₁x₂=

a2-a2b2

a2+b2

∵以AB為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O，
∴OA⊥OB，∴x₁x₂+y₁y₂=0
∴2x₁x₂-（x₁+x₂）+1=0
∴2•

a2-a2b2

a2+b2

-

2a2

a2+b2

+1=0
∴b²=

a2

2a2-1

∴c²=a²-b²=

2a4-2a2

2a2-1

∴e2=

c2

a2

=

2a2-2

2a2-1

∵橢圓的離心率e滿足

3

3

≤e≤

2

2

，
∴

1

3

≤

2a2-2

2a2-1

≤

1

2

∴

5

2

≤a≤

6

2

∴

5

≤2a≤

6

∴橢圓長軸長的取值范圍為[

5

，

6

]．

點(diǎn)評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查橢圓的幾何性質(zhì)，屬于中檔題．