Question

18．已知圓C：x²+y²-2x-4y+1=0．
（Ⅰ）求過點(diǎn)M（3，1）的圓C的切線方程；
（Ⅱ）若直線l：ax-y+4=0與圓C相交于A，B兩點(diǎn)，且弦AB的長(zhǎng)為$2\sqrt{3}$，求a的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）分類討論，利用圓心到直線的距離等于半徑，即可求過點(diǎn)M（3，1）的圓C的切線方程；
（Ⅱ）因?yàn)橄褹B的長(zhǎng)為2$\sqrt{3}$，所以點(diǎn)C到直線l的距離為1，即可求a的值．

解答 解：（I）圓C的方程可化為（x-1）²+（y-2）²=4，圓心C（1，2），半徑是2．…（2分）
①當(dāng)切線斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為y-1=k（x-3），即kx-y-3k+1=0．…（3分）
因?yàn)?d=\frac{{|{k-2-3k+1}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=\frac{{|{2k+1}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=2$，
所以$k=\frac{3}{4}$．…（6分）
②當(dāng)切線斜率不存在時(shí)，直線方程為x=3，與圓C相切．…（7分）
所以過點(diǎn)M（3，1）的圓C的切線方程為x=3或3x-4y-5=0．…（8分）
（II）因?yàn)橄褹B的長(zhǎng)為2$\sqrt{3}$，
所以點(diǎn)C到直線l的距離為${d_1}=\sqrt{{r^2}-{{（\frac{{|{AB}|}}{2}）}^2}}=1$．…（10分）
因?yàn)?{d_1}=\frac{{|{a-2+4}|}}{{\sqrt{{a^2}+1}}}=1$．…（12分）
所以$a=-\frac{3}{4}$．…（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．