Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=

5

6

，a₂=

19

36

并且數(shù)列l(wèi)og₂（a₂-

a1

3

），log₂（a₃-

a2

3

），…，log₂（a_n+1-

an

3

）是公差為-1的等差數(shù)列，而a₂-

a1

2

，a₃-

a2

2

，…，a_n+1-

an

2

是公比為

1

3

的等比數(shù)列，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析：由數(shù)列{log₂（a_n+1-

an

3

）}為等差數(shù)列及等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，可求出a_n+1與a_n的一個(gè)遞推關(guān)系式①；由數(shù)列{a_n+1-

an

2

}為等比數(shù)列及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，可求出a_n+1與a_n的另一個(gè)遞推關(guān)系式②．解兩個(gè)關(guān)系式的方程組，即可求出a_n．

解答：解：∵數(shù)列{log₂（a_n+1-

an

3

）}是公差為-1的等差數(shù)列，
∴l(xiāng)og₂（a_n+1-

an

3

）=log₂（a₂-

1

3

a₁）+（n-1）（-1）=log₂（

19

36

-

1

3

×

5

6

）-n+1=-（n+1），
于是有a_n+1-

an

3

=2^-（n+1）．①
又∵數(shù)列{a_n+1-

1

2

a_n}是公比為

1

3

的等比數(shù)列，
∴a_n+1-

1

2

a_n=（a₂-

1

2

a₁）•3^-（n-1）
=（

19

36

-

1

2

×

5

6

）•3^-（n-1）=3^-（n+1）．
于是有a_n+1-

1

2

a_n=3^-（n+1）．②
由①-②可得

1

6

a_n=2^-（n+1）-3^-（n+1），
∴a_n=

3

2n

-

2

3n

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的綜合，數(shù)列與函數(shù)的綜合．考查了學(xué)生分析問題和解決問題的能力．