Question

設(shè)函數(shù)．
（1）當(dāng)k＞0時(shí)，判斷f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性；
（2）討論f（x）的極值點(diǎn)．

Answer 1

解：…（3分）
（1）當(dāng)k＞0時(shí)，在（0，+∞）恒成立，
所以f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．…（6分）
（2）函數(shù)的定義域是（0，+∞）．
令，得（x+1）²=1-k≥（0+1）²=1，所以
當(dāng)k＞0時(shí)，f′（x）=0在（0，+∞）沒(méi)有根，f（x）沒(méi)有極值點(diǎn)；
當(dāng)k＜0時(shí)，f′（x）=0在（0，+∞）有唯一根，
因?yàn)樵冢?，x₀）上f′（x）＜0，在（x₀，+∞）上f′（x）＞0，
所以x₀是f（x）唯一的極小值點(diǎn)．…（12分）
分析：先求導(dǎo)數(shù)，（1）當(dāng)k＞0時(shí)，可得導(dǎo)數(shù)恒正，故在定義域上單調(diào)遞增；
（2）分類討論，當(dāng)k＞0時(shí)，f′（x）=0在（0，+∞）沒(méi)有根，f（x）沒(méi)有極值點(diǎn)；當(dāng)k＜0時(shí)，f′（x）=0在（0，+∞）有唯一根，由極值的定義可得答案．
點(diǎn)評(píng)：本題為導(dǎo)數(shù)和極值的綜合應(yīng)用，涉及分類討論的思想，屬中檔題．