Question

設(shè)函數(shù)．
（1）當(dāng)k=1時(shí)，判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并加以證明；
（2）當(dāng)k=0時(shí)，求證：f（x）＞0對(duì)一切x＞0恒成立；
（3）若k＜0，且k為常數(shù)，求證：f（x）的極小值是一個(gè)與a無關(guān)的常數(shù)．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，判斷出導(dǎo)函數(shù)小于等于0，判斷出函數(shù)單調(diào)性．
（2）求出導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)為0，求出根，判斷出根左右兩邊的符號(hào)，求出極小值，判斷出極小值的符號(hào)得證．
（3）求出導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)為0，求出根，判斷根左右兩邊的符號(hào)，求出極小值，判斷出極小值是與a無關(guān)的常數(shù)．
解答：解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)閤＞0
當(dāng)k=1時(shí)，f（x）=
∵=
∴函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是單調(diào)減函數(shù)
（2）當(dāng)k=0時(shí)，

令
當(dāng)

∴
∵e＞2
∴
∴f（x）＞0恒成立
（3）∵
∴
令
解得（舍去）
∴
，f′（x）＜0，f（x）是單調(diào)減函數(shù)
時(shí)，f′（x）＞0，f（x）是單調(diào)增函數(shù)
因此，當(dāng)x=f（x）有極小值
令
∵而是與a無關(guān)的常數(shù)
∴均與a無關(guān)．
∴f（x）是與a無關(guān)的常數(shù)．
則f（x）的極小值是一個(gè)與a無關(guān)的常數(shù)．
點(diǎn)評(píng)：求函數(shù)的極小值時(shí)，令導(dǎo)函數(shù)為0求出根，但一定注意判斷根左右兩邊的符號(hào)是否異號(hào)．