Question

(2013·上海高考)如圖,已知雙曲線C1：-y2=1,曲線C2：|y|=|x|+1.P是平面內(nèi)一點.若存在過點P的直線與C1,C2都有共同點,則稱P為“C1-C2型點”.

(1)在正確證明C1的左焦點是“C1-C2型點”時,要使用一條過該焦點的直線,試寫出一條這樣的直線的方程(不要求驗證).

(2)設(shè)直線y=kx與C2有公共點,求證|k|>1,進而證明原點不是“C1-C2型點”.

(3)求證：圓x2+y2=內(nèi)的點都不是“C1-C2型點”.

 

Answer 1

（1）x=-或y=k(x+),其中|k|≥.

（2）見解析 （3）見解析

【解析】(1)C1的左焦點為(-,0),寫出的直線方程可以是以下形式：

x=-或y=k(x+),其中|k|≥.

(2)因為直線y=kx與C2有公共點,

所以方程組有實數(shù)解,

因此|kx|=|x|+1,得|k|=>1.

若原點是“C1-C2型點”,則存在過原點的直線與C1,C2都有公共點.

考慮過原點與C2有公共點的直線x=0或y=kx(|k|>1).顯然直線x=0與C1無公共點.

如果直線為y=kx(|k|>1),

則由方程組得x2=<0,矛盾,

所以直線y=kx(|k|>1)與C1也無公共點.

因此原點不是“C1-C2型點”.

(3)記圓O：x2+y2=,取圓O內(nèi)的一點Q,

設(shè)有經(jīng)過Q的直線l與C1,C2都有公共點,

顯然l不垂直于x軸,故可設(shè)l：y=kx+b.

若|k|≤1,由于圓O夾在兩組平行線y=x±1與y=-x±1之間,

因此圓O也夾在直線y=kx±1與y=-kx±1之間,從而過Q且以k為斜率的直線l與C2無公共點,矛盾,所以|k|>1.

因為l與C1有公共點,所以方程組有實數(shù)解,得(1-2k2)x2-4kbx-2b2-2=0.

因為|k|>1,所以1-2k2≠0,

因此Δ=(4kb)2-4(1-2k2)(-2b2-2)=8(b2+1-2k2)≥0,即b2≥2k2-1.

因為圓O的圓心(0,0)到直線l的距離d=,

所以=d2<,從而>b2≥2k2-1,

得k2<1,與|k|>1矛盾.

因此,圓x2+y2=內(nèi)的點都不是“C1-C2型點”.