Question

如圖，一人在C地看到建筑物A在正北方向，另一建筑物B在北偏西45°方向，此人向北偏西75°方向前進(jìn)

6

km到達(dá)D，看到A在他的北偏東45°方向，B在其的北偏東75°方向，試求這兩座建筑物A與B之間的距離．

Answer 1

分析：在△ADC中利用正弦定理，結(jié)合題意算出AC=3km．然后在△BDC中利用正弦定理得BC=

DCsin∠BDC

sin∠DBC

=

2

，最后在在△ABC中利用余弦定理加以計(jì)算，即可算出AB的長，從而得出兩座建筑物A與B之間的距離．

解答：解：∵在△ADC中，∠ACD=75°，則∠ADC=105°-45°=60°，∠DAC=45°，且CD=

6

∴由正弦定理，得AC=

DCsin∠ADC

sin∠DAC

=

6 sin60°

sin45°

=3km；…（4分）
又∵在△BDC中，∠BCD=75°-45°=30°，∠BDC=105°-75°=30°，
∴∠DBC=120°，
結(jié)合CD=

6

利用正弦定理，得BC=

DCsin∠BDC

sin∠DBC

=

6 sin30°

sin120°

=

2

km；…（8分）
在△ABC中，∠ACB=45°，由余弦定理，得AB2=AC2+BC2-2AC•BCcos∠ACB=9+2-6

2

cos45°=5km²…（12分）
可得AB=

5

km
答：這兩座建筑物A與B之間的距離是

5

km…（13分）

點(diǎn)評：本題給出實(shí)際應(yīng)用問題，求兩座建筑物之間的距離．著重考查了利用正余弦定理解三角形和解三角形知識在實(shí)際生活中的應(yīng)用，屬于中檔題．