Question

13．已知α，β均為銳角，且滿足關系式12sin²（π+α）+20sin²（$\frac{3π}{2}$-β）+12sin（3π+α）-20$\sqrt{2}$sin（$\frac{π}{2}$-β）+13=0，求α與β的值．

Answer 1

分析 利用誘導公式化簡，然后配方，求得sinα與cosβ的值，則答案可求．

解答 解：由12sin²（π+α）+20sin²（$\frac{3π}{2}$-β）+12sin（3π+α）-20$\sqrt{2}$sin（$\frac{π}{2}$-β）+13=0，
得$12si{n}^{2}α+20co{s}^{2}β-12sinα-20\sqrt{2}cosβ+13=0$，
即$（2\sqrt{3}sinα-\sqrt{3}）^{2}+20（cosβ-\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}=0$，
∴$2\sqrt{3}sinα-\sqrt{3}=0$，$cosβ-\frac{\sqrt{2}}{2}=0$，
則$sinα=\frac{1}{2}$，$cosβ=\frac{\sqrt{2}}{2}$．
又α，β均為銳角，∴$α=\frac{π}{6}$，$β=\frac{π}{4}$．

點評 本題考查三角函數(shù)的化簡求值，訓練了配方法在求解三角等式問題中的應用，是中檔題．