Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面為矩形，PA=AD=1，PA⊥面ABCD，E是AB的中點，F(xiàn)為PC上一點，且
EF∥面PAD．
（I）證明：F為PC的中點；
（II）若AB=2，求二面角C-PD-E的平面角的余弦值．

Answer 1

分析：（I）以A為坐標(biāo)原點，AB，AD，AP方向分別為x，y，z軸正方向建立空間坐標(biāo)系，設(shè)

PF

=λ

PC

，AB=2a，設(shè)我們分別求出向量

EF

的坐標(biāo)及平面PAD的法向量的坐標(biāo)，根據(jù)兩個向量垂直數(shù)量積為0，我們可以構(gòu)造一個關(guān)于λ的方程，解方程求出λ值，即可判斷F點的位置；
（II）若AB=2，我們分別求出平面PCD的一個法向量和平面PDE的一個法向量，然后代入向量夾角公式，即可得到答案．

解答：證明：（I）以A為坐標(biāo)原點，AB，AD，AP方向分別為x，y，z軸正方向建立空間坐標(biāo)系，
設(shè)AB=2a
則A（0，0，0），B（2a，0，0），C（2a，1，0），D（0，1，0），P（0，0，1），E（a，0，0），
∴設(shè)

PF

=λ

PC

=（2aλ，λ，-λ），則

EF

=（-a+2aλ，λ，1-λ）
∵

AB

=（2a，0，0）為平面PAD的一個法向量，且EF∥面PAD
∴

EF

•

AB

=0
即2a•（-a+2aλ）=0，
∴λ=

1

2

故F為PC的中點；
解：（II）若AB=2，則A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，1，0），D（0，1，0），P（0，0，1），E（1，0，0），
則

PD

=（0，1，-1），

PC

=（2，1，-1），

PE

=（1，0，-1）
設(shè)

m

=（a，b，c）為平面PCD的一個法向量
則

2a+y-z=0 y-z=0

，
則

m

=（0，1，1）為平面PCD的一個法向量
設(shè)

n

=（x，y，z）為平面PDE的一個法向量
則

y-z=0 x-z=0

則

n

=（1，1，1）為平面PDE的一個法向量
設(shè)二面角C-PD-E的平面角為θ
則cosθ=

m • n

| m |•| n |

=

6

3

即二面角C-PD-E的平面角的余弦值為

6

3

點評：本題考查的知識點是二面角的平面角及求法，直線與平面平行的性質(zhì)，其中建立空間坐標(biāo)系，將線面平行問題及二面角問題轉(zhuǎn)化為向量夾角問題是解答本題的關(guān)鍵．