Question

10．已知函數(shù)f（x）=x³-$\sqrt{a}$x²+|ax|-5（a≥0）．
（1）當(dāng)a=4時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）有且只有一個零點，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）將a=4代入f（x），通過討論x的范圍，去掉絕對值，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到函數(shù)的遞減區(qū)間即可；
（2）通過討論x的范圍，確定函數(shù)f（x）在（0，+∞）有且只有一個零點，問題轉(zhuǎn)化為只需f（x）在（-∞，0）無零點，求出f（x）在（-∞，0）的最大值小于0即可．

解答 解：（1）a=4時，f（x）=x³-2x²+4|x|-5，
x≥0時，f（x）=x³-2x²+4x-5，
f′（x）=3x²-4x+4，△＜0，
∴f′（x）＞0在[0，+∞）恒成立，f（x）遞增；
x＜0時，f（x）=x³-2x²-4x-5，
f′（x）=3x²-4x-4，
△=64，
令f′（x）＜0，解得：-$\frac{2}{3}$＜x＜0，
∴f（x）在（-$\frac{2}{3}$，0）遞減；
（2）x≥0時，f（x）=x³$-\sqrt{a}$x²+ax-5（a≥0），
f′（x）=3x²-2$\sqrt{a}$x+a，△=-8a＜0，
f（x）在[0，+∞）遞增，而f（0）=-5＜0，x→+∞時，f（x）→+∞，
∴f（x）在（0，+∞）有且只有一個零點，
若函數(shù)f（x）有且只有一個零點，
只需f（x）在（-∞，0）無零點，
x＜0時，f（x）=x³$-\sqrt{a}$x²-ax-5（a≥0），
f′（x）=3x²-2$\sqrt{a}$x-a，△=16a＞0，
令f′（x）＞0，解得：x＜-$\frac{\sqrt{a}}{3}$，令f′（x）＜0，解得：-$\frac{\sqrt{a}}{3}$＜x＜0，
∴f（x）在（-∞，-$\frac{\sqrt{a}}{3}$）遞增，在（-$\frac{\sqrt{a}}{3}$，0）遞減，
∴x＜0時，f（x）_max=f（-$\frac{\sqrt{a}}{3}$）=$\frac{5a\sqrt{a}}{27}$-5＜0，
解得：a＜3，
故函數(shù)f（x）有且只有一個零點時，0≤a＜3．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，是一道中檔題．