Question

5．設(shè)a，b是兩個(gè)不相等的正數(shù)，且alna+b=blnb+a，則（　�。�

• A． （a-1）（b-1）＞0
• B． 0＜a+b＜2
• C． ab＞1
• D． 0＜ab＜1

Answer 1

分析 由條件可得alna-a=blnb-b，設(shè)f（x）=xlnx-x，x＞0，求得導(dǎo)數(shù)和單調(diào)區(qū)間、極值，設(shè)0＜a＜1，b＞1，排除A；
通過f（x）的零點(diǎn)的范圍，舉b=2，排除B；由f（a）-2ln2+2＜0，可得0＜a＜0.5，排除C，可得D正確．

解答 解：由alna+b=blnb+a，得alna-a=blnb-b，
設(shè)f（x）=xlnx-x，x＞0，
則f′（x）=1+lnx-1=lnx，
由f′（x）＞0得lnx＞0，得x＞1，
由f′（x）＜0得lnx＜0，得0＜x＜1，
即當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)f（x）取得極小值-1，
alna-a=blnb-b，等價(jià)為f（a）=f（b），
則a，b一個(gè)大于1，一個(gè)小于1，
不妨設(shè)0＜a＜1，b＞1．
則a+b-ab＞1等價(jià)為（a-1）（1-b）＞0，
則（a-1）（b-1）＜0，故A不正確；
由f（2）=2ln2-2＜0，f（3）=3ln3-3＞0，可得f（x）=xlnx-x的一個(gè)零點(diǎn)介于（2，3），
可設(shè)2＜b＜3，則a+b＞2，故0＜a+b＜2不正確，故B不正確；
當(dāng)b=2時(shí)，即有f（a）=f（2）=2ln2-2，
設(shè)g（a）=alna-a-2ln2+2，由g（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}$ln$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$-2ln2+2=$\frac{3}{2}$-$\frac{5}{2}$ln2＜0，
可得此時(shí)0＜a＜$\frac{1}{2}$，
即有ab＜1，故C不正確；
由排除法，可得D正確．
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)和方程的轉(zhuǎn)化思想，注意構(gòu)造函數(shù)，求出導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性，考查特殊值法解選擇題的方法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．