Question

直線與拋物線:交于兩點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線準(zhǔn)線上的一點(diǎn)，
記，其中為拋物線的頂點(diǎn).
（1）當(dāng)與平行時(shí)，________；
（2）給出下列命題：
①，不是等邊三角形；
②且，使得與垂直；
③無(wú)論點(diǎn)在準(zhǔn)線上如何運(yùn)動(dòng)，總成立.
其中，所有正確命題的序號(hào)是___.

Answer 1

;①②③

解析試題分析：由拋物線方程知，焦點(diǎn)，準(zhǔn)線為。
（1）當(dāng)與平行時(shí)，因?yàn)橛泄颤c(diǎn)，所以三點(diǎn)共線。因?yàn)辄c(diǎn)在準(zhǔn)線上，點(diǎn)在直線上，所以關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以與是相反向量，所以,此時(shí)。（2）將代入得，所以，假設(shè)能是等邊三角形，則此時(shí)點(diǎn)只能是準(zhǔn)線與軸交點(diǎn)。但此時(shí)。所以假設(shè)不成立，即不可能是等邊三角形，故①正確；不妨設(shè)，設(shè)則，，當(dāng)與垂直時(shí)，，解得，即。因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/6a/b/1s8f54.png" style="vertical-align:middle;" />，所以且，解得。故②正確；因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/6a/b/1s8f54.png" style="vertical-align:middle;" />，且，所以。故③正確。綜上可得正確的序號(hào)是①②③。
考點(diǎn)：拋物線方程及基本性質(zhì)，平面向量的平行、垂直及向量坐標(biāo)的運(yùn)算法則。