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【題目】如圖，在四棱錐中，側棱底面，，，，是棱的中點.

（1）求證：平面；

（2）若，點是線段上一點，且，求直線與平面所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）的中點，連接，，證明四邊形是平行四邊形可得，故而平面；

（2）以為原點建立空間坐標系，求出平面的法向量，計算與的夾角的余弦值得出答案．

（1）證明：取的中點，連接，，

，分別是，的中點，

，，

又，，

，，

四邊形是平行四邊形，，

又平面，平面，

平面．

（2）解：，，

又，故，

以為原點，以，，為坐標軸建立空間直角坐標系，

則，0，，，0，，，2，，，0，，，2，，

是的中點，是的三等分點，

，1，，，，，

，，，，0，，，2，，

設平面的法向量為，，，則，即，

令可得，，，

，

，

直線與平面所成角的正弦值為．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知矩形中，，E，F分別為，的中點.沿將矩形折起，使，如圖所示.設P、Q分別為線段，的中點，連接.

（1）求證：平面；

（2）求二面角的余弦值.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，湖中有一個半徑為千米的圓形小島，岸邊點與小島圓心相距千米，為方便游人到小島觀光，從點向小島建三段棧道，，，湖面上的點在線段上，且，均與圓相切，切點分別為，，其中棧道，，和小島在同一個平面上.沿圓的優(yōu)弧（圓上實線部分）上再修建棧道.記為.

用表示棧道的總長度，并確定的取值范圍；

求當為何值時，棧道總長度最短.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，在直角梯形中，E，F分別為AB的三等分點，，，，若沿著FG，ED折疊使得點A，B重合，如圖2所示，連結GC，BD

（1）求證：平面平面BCDE；

（2）求二面角的余弦值.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知數列的前項和為，其中為常數．

（1）證明： ；

（2）是否存在，使得為等差數列？并說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數 ，

（1）求函數的單調區(qū)間；

（2）當時，判斷函數，（）有幾個零點，并證明你的結論；

（3）設函數，若函數在為增函數，求實數的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】在綜合素質評價的某個維度的測評中，依據評分細則，學生之間相互打分，最終將所有的數據合成一個分數，滿分100分，按照大于或等于80分的為優(yōu)秀，小于80分的為合格，為了解學生的在該維度的測評結果，在畢業(yè)班中隨機抽出一個班的數據.該班共有60名學生，得到如下的列聯表：

優(yōu)秀

合格

總計

男生

6

女生

18

合計

60

已知在該班隨機抽取1人測評結果為優(yōu)秀的概率為.

（1）完成上面的列聯表；

（2）能否在犯錯誤的概率不超過0.10的前提下認為性別與測評結果有關系？

（3）現在如果想了解全校學生在該維度的表現情況，采取簡單隨機抽樣方式在全校學生中抽取少數一部分來分析，請你選擇一個合適的抽樣方法，并解釋理由.

附：

0.25

0.10

0.025

1.323

2.706

5.024

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】某省從2021年開始將全面推行新高考制度，新高考“”中的“2”要求考生從政治、化學、生物、地理四門中選兩科，按照等級賦分計入高考成績，等級賦分規(guī)則如下：從2021年夏季高考開始，高考政治、化學、生物、地理四門等級考試科目的考生原始成績從高到低劃分為五個等級，確定各等級人數所占比例分別為，，，，，等級考試科目成績計入考生總成績時，將至等級內的考生原始成績，依照等比例轉換法分別轉換到、、、、五個分數區(qū)間，得到考生的等級分，等級轉換分滿分為100分.具體轉換分數區(qū)間如下表：

等級

比例

賦分區(qū)間

而等比例轉換法是通過公式計算：

其中，分別表示原始分區(qū)間的最低分和最高分，、分別表示等級分區(qū)間的最低分和最高分，表示原始分，表示轉換分，當原始分為，時，等級分分別為、

假設小南的化學考試成績信息如下表：

考生科目

考試成績

成績等級

原始分區(qū)間

等級分區(qū)間

化學

75分

等級

設小南轉換后的等級成績?yōu)?/span>，根據公式得：，

所以（四舍五入取整），小南最終化學成績?yōu)?7分.

已知某年級學生有100人選了化學，以半期考試成績?yōu)樵汲煽冝D換本年級的化學等級成績，其中化學成績獲得等級的學生原始成績統(tǒng)計如下表：

成績

95

93

91

90

88

87

85

人數

1

2

3

2

3

2

2

（1）從化學成績獲得等級的學生中任取2名，求恰好有1名同學的等級成績不小于96分的概率；

（2）從化學成績獲得等級的學生中任取5名，設5名學生中等級成績不小于96分人數為，求的分布列和期望.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】根據氣象部門預報，在距離某個碼頭A南偏東45°方向的600km處的熱帶風暴中心B正以30km/h的速度向正北方向移動，距離風暴中心450km以內的地區(qū)都將受到影響，從現在起經過___小時后該碼頭A將受到熱帶風暴的影響（精確到0.01）．

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