已知函數(shù)y=x+
a
x
有如下性質(zhì)：如果常數(shù)a＞0，那么該函數(shù)在(0，
a
]上是減函數(shù)，在[
a
，+∞)上是增函數(shù)．
（1）如果函數(shù)y=x+
3m
x
(x＞0)的值域是[6，+∞），求實(shí)數(shù)m的值；
（2）求函數(shù)f(x)=x2+
a
x2
（a＞0）在x∈[1，2]上的最小值g（a）的表達(dá)式．
分析：（1）函數(shù)y=x+
3m
x
(x＞0)在(0，
3m
]上是減函數(shù)，在[
3m
，+∞)上是增函數(shù)，根據(jù)函數(shù)y=x+
3m
x
(x＞0)的值域是[6，+∞），即可求實(shí)數(shù)m的值；
（2）令x2=t，從而問題可轉(zhuǎn)化為f（t）在[1，4]上的最小值，分類討論：1°當(dāng)
a
＞4，即a＞16時(shí)，f（t）在[1，4]上是減函數(shù)；2°當(dāng)1≤
a
≤2，即1≤a≤16時(shí)，g(a)=f(
a
)=2
a
；3°當(dāng)
a
＜1，即0＜a＜1時(shí)，f（t）在[1，4]上是增函數(shù)，故可求最小值g（a）的表達(dá)式．
解答：解：（1）由已知，函數(shù)y=x+
3m
x
(x＞0)在(0，
3m
]上是減函數(shù)，在[
3m
，+∞)上是增函數(shù)，
∴ymin=
3m
+
3m
3m
=2
3m
，…（4分）
∴2
3m
=6，∴3m=9，
∴m=2．…（6分）
（2）令x2=t，∵x∈[1，2]，
∴t∈[1，4]，f(t)=t+
a
t
，
原題即求f（t）在[1，4]上的最小值．…（7分）
1°當(dāng)
a
＞4，即a＞16時(shí)，f（t）在[1，4]上是減函數(shù)，此時(shí)g(a)=f(4)=4+
a
4
，…（9分）
2°當(dāng)1≤
a
≤2，即1≤a≤16時(shí)，g(a)=f(
a
)=2
a
，
3°當(dāng)
a
＜1，即0＜a＜1時(shí)，f（t）在[1，4]上是增函數(shù)，此時(shí)g（a）=f（1）=1+a．…（13分）
∴g（a）=
1+a，0＜a＜1
2
a
，1≤a≤16
4+
a
4
，a＞16
點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的最值，考查函數(shù)的單調(diào)性，解題的關(guān)鍵是利用函數(shù)的單調(diào)性，解決函數(shù)的最值問題．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)y=x+
a
x
有如下性質(zhì)：如果常數(shù)a＞0，那么該函數(shù)在（0，
a
]上是減函數(shù)，在[
a
，+∞）上是增函數(shù)．
（Ⅰ）如果函數(shù)y=x+
2b
x
（x＞0）的值域?yàn)閇6，+∞），求b的值；
（Ⅱ）研究函數(shù)y=x2+
c
x2
（常數(shù)c＞0）在定義域內(nèi)的單調(diào)性，并說明理由；
（Ⅲ）對函數(shù)y=x+
a
x
和y=x2+
a
x2
（常數(shù)a＞0）作出推廣，使它們都是你所推廣的函數(shù)的特例．研究推廣后的函數(shù)的單調(diào)性（只須寫出結(jié)論，不必證明），并求函數(shù)F（x）=（x2+
1
x
）n+（
1
x2
+x）n（n是正整數(shù)）在區(qū)間[
1
2
，2]上的最大值和最小值（可利用你的研究結(jié)論）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)y=x+
a
x
旦（a＞0）有如下的性質(zhì)：在區(qū)間（0，
a
]上單調(diào)遞減，在[
a
，+∞）上單調(diào)遞增．
（1）如果函數(shù)f（x）=x+
2b
x
在（0，4]上單調(diào)遞減，在[4，+∞）上單調(diào)遞增，求常數(shù)b的值．
（2）設(shè)常數(shù)a∈[l，4]，求函數(shù)y=x+
a
x
在x∈[l，2]的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)y=x+
a
x
有如下性質(zhì)：如果常數(shù)a＞0，那么該函數(shù)在（0，
a
上是減函數(shù)，在
a
，+∞）上是增函數(shù)．
（1）如果函數(shù)y=x+
2b
x
在（0，4）上是減函數(shù)，在（4，+∞）上是增函數(shù)，求實(shí)常數(shù)b的值；
（2）設(shè)常數(shù)c∈1，4，求函數(shù)f（x）=x+
c
x
（1≤x≤2）的最大值和最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)y=x+
a
x
（x＞0）有如下性質(zhì)：如果常數(shù)a＞0，那么該函數(shù)在（0，
a
]上是減函數(shù)，在[
a
，+∞）上是增函數(shù)．
（1）如果函數(shù)y=x+
b2
x
（x＞0）的值域?yàn)閇6，+∞），求b的值；
（2）研究函數(shù)y=x2+
c
x2
（x＞0，常數(shù)c＞0）在定義域內(nèi)的單調(diào)性，并用定義證明（若有多個單調(diào)區(qū)間，請選擇一個證明）；
（3）對函數(shù)y=x+
a
x
和y=x2+
a
x2
（x＞0，常數(shù)a＞0）作出推廣，使它們都是你所推廣的函數(shù)的特例．研究推廣后的函數(shù)的單調(diào)性（只須寫出結(jié)論，不必證明），并求函數(shù)F（x）=(x2+
1
x
)2+(
1
x2
+x)2在區(qū)間[
1
2
，2]上的最大值和最小值（可利用你的研究結(jié)論）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)y=x+
a
x
有如下性質(zhì)：如果常數(shù)a＞0，那么該函數(shù)在(0，
a
]上是減函數(shù)，在[
a
，+∞)上是增函數(shù)，
（1）如果函數(shù)y=x+
3m
x
(x＞0)的值域是[6，+∞），求實(shí)數(shù)m的值；
（2）研究函數(shù)f(x)=x2+
a
x2
（常數(shù)a＞0）在定義域內(nèi)的單調(diào)性，并說明理由；
（3）若把函數(shù)f(x)=x2+
a
x2
（常數(shù)a＞0）在[1，2]上的最小值記為g（a），求g（a）的表達(dá)式．

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