Question

20．已知函數(shù)f（x）=e^x（x²+x+a）在（0，f（0））處的切線與直線2x-y-3=0平行，其中a∈R．
（1）求a的值；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-2，2]上的最值．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算f′（0）=2，求出a的值即可；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最值即可．

解答 解：（1）f′（x）=e^x（x²+3x+a+1），
故f′（0）=a+1，而切線的斜率是2，
故a+1=2，解得：a=1；
（2）由（1）得f（x）=e^x（x²+x+1），
f′（x）=e^x（x+1）（x+2），
令f′（x）＞0，解得：x＞-1或x＜-2，
令f′（x）＜0，解得：-2＜x＜-1，
故函數(shù)f（x）在[-2，-1）遞減，在（-1，2]遞增，
而f（-2）=$\frac{3}{{e}^{3}}$，f（-1）=$\frac{1}{e}$，f（2）=7e²，
故f（x）在[-2，2]的最小值是$\frac{1}{e}$，最大值是7e²．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及切線的意義，是一道中檔題．