Question

12．橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的一個焦點F₁（-2，0），離心率e=$\frac{1}{2}$．
（1）求橢圓E的方程；
（2）求以點P（2，1）為中點的弦AB所在的直線方程．

Answer 1

分析 （1）由題意設出橢圓的標準方程，并求得c，再由離心率求得a，結(jié)合隱含條件求得b，則橢圓方程可求；
（2）設出A、B的坐標，代入橢圓方程，作差求得AB所在直線的斜率，代入直線方程的點斜式得答案．

解答 解：（1）設橢圓E的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0），
由題意c=2，又$e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，得a=4，
∴b²=a²-c²=12．
∴橢圓E的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1$；
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）代入橢圓E的方程得：
$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{16}+\frac{{{y}_{1}}^{2}}{12}=1$   ①，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{16}+\frac{{{y}_{2}}^{2}}{12}=1$   ②，
①-②得：$\frac{{{x}_{1}}^{2}-{{x}_{2}}^{2}}{16}=-\frac{{{y}_{1}}^{2}-{{y}_{2}}^{2}}{12}$，
∵點P（2，1）為AB的中點，
∴$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}=-\frac{12（{x}_{1}+{x}_{2}）}{16（{y}_{1}+{y}_{2}）}=-\frac{12×4}{16×2}=-\frac{3}{2}$．
即${k_{AB}}=-\frac{3}{2}$．
∴點P（2，1）為中點的弦AB所在直線的方程為y-1=$-\frac{3}{2}$（x-2），
化為一般式方程：3x+2y-8=0．

點評 本題考查橢圓標準方程的求法，考查橢圓的簡單性質(zhì)，訓練了直線與橢圓位置關(guān)系的應用，屬中檔題．