Question

一個(gè)三棱柱ABC-A₁B₁C₁直觀圖和三視圖如圖所示（主視圖、俯視圖都是矩形，左視圖是直角三角形），設(shè)E、F分別為AA₁和B₁C₁的中點(diǎn)．

（Ⅰ）求幾何體ABC-A₁B₁C₁的體積；
（Ⅱ）證明：A₁F∥平面EBC₁；
（Ⅲ）證明：平面EBC⊥平面EB₁C₁．

Answer 1

（本小題滿分14分）
解：（Ⅰ）由題可知，三棱柱ABC-A₁B₁C₁為直三棱柱，B₁B⊥底面ABC，
且底面△ABC是直角三角形，AB⊥BC，，…（2分）
三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積．…（4分）
（Ⅱ）證明：取BC₁的中點(diǎn)M，連EM，F(xiàn)M，…（5分）∵E、F分別為AA₁和B₁C₁的中點(diǎn)，∴，，，…（12分）∴四邊形MFA₁E為平行四邊形，∴A₁F∥EM，…（7分）
又EM?平面EBC₁，A₁F?平面EBC₁，∴A₁F∥平面EBC₁． …（9分）
（Ⅲ）∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁為直三棱柱，B₁B⊥底面ABC，∴BE²=AB²+AE²=2，∴B₁E²=A₁B₁²+A₁E²=2，又BB₁=2，∴BE²+B₁E²=BB₁²，∴BE⊥B₁E…（10分）
又平面AA₁B₁B，∴B₁C₁⊥BE…（12分）
由BE⊥B₁E，B₁C₁⊥BE，B₁E∩B₁C₁=B₁，得BE⊥平面EB₁C₁，
又BE?平面EBC，∴平面EBC⊥平面EB₁C₁． …（14分）
分析：（Ⅰ）求出幾何體ABC-A₁B₁C₁的高和底面面積，即可求出幾何體的體積；
（Ⅱ）取BC₁的中點(diǎn)M，連EM，F(xiàn)M，證明A₁F∥EM，說(shuō)明EM?平面EBC₁，A₁F?平面EBC₁，即可證明A₁F∥平面EBC₁；
（Ⅲ）證明BE⊥B₁E，B₁C₁⊥BE，B₁E∩B₁C₁=B₁，即可證明平面EBC⊥平面EB₁C₁．
點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查空間幾何體的體積，直線與平面的平行，平面與平面的垂直，考查基本定理的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，空間想象能力．