Question

已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為雙曲線(xiàn)的一個(gè)焦點(diǎn)，且兩條曲線(xiàn)都經(jīng)過(guò)點(diǎn).

（1）求這兩條曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）已知點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，且它與雙曲線(xiàn)的左，右焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積為4，求點(diǎn) 的坐標(biāo).

 

Answer 1

（1）,；（2）或.

【解析】

試題分析：（1）可以先利用待定系數(shù)法可以先求拋物線(xiàn)方程，然后利用定義法或待定系數(shù)法求出雙曲線(xiàn)方程;

（2）先利用三角形的面積是4，求出點(diǎn)p的縱坐標(biāo)是，再利用點(diǎn)P在拋物線(xiàn)上，求出橫坐標(biāo)即可.

試題解析：（1）∵拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，

∴，解得，

∴拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為. 3分

∴拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，∴雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)為．

法一：∴，，

∴，． 5分

∴．

∴雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為. 8分

法二：，∵雙曲線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，∴， 5分

解得 ，.

∴雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為. 8分

（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由題意得，

，∴， 11分

∵點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，∴，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為或. 14分

考點(diǎn)：(1)雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程.