Question

4．已知二面角α-l-β的平面角是60°，直線(xiàn)a⊥α，則直線(xiàn)a與平面β所成角的大小為30°．

Answer 1

分析 由題意畫(huà)出圖形，在直線(xiàn)a上取一點(diǎn)P，過(guò)P作PB⊥β，則PA、PB確定平面PAB，設(shè)平面PAB交直線(xiàn)l于點(diǎn)O，可得∠AOB為二面角的平面角等于60°，設(shè)a交β于C，可得B、O、C共線(xiàn)，P、B、C共面，得到∠PCB是PA與平面β所成的角，由三角形外角與不相鄰內(nèi)角的關(guān)系得答案．

解答 解：如圖，直線(xiàn)a⊥α，垂足為A，
在直線(xiàn)a上取一點(diǎn)P，過(guò)P作PB⊥β，則PA、PB確定平面PAB，設(shè)平面PAB交直線(xiàn)l于點(diǎn)O，
∴l(xiāng)⊥平面PAO，則l⊥OA，l⊥OB，
∵二面角α-1-β的大小是60°，PA⊥α，PB⊥β，
∴∠AOB=60°，則∠APB=120°，
如圖，設(shè)a交β于C，∴B、O、C共線(xiàn)，P、B、C共面，
∴∠PCB是PA與平面β所成的角，
∵∠APB=120°，∠PBC=90°，
∴∠PCB=30°．
即直線(xiàn)a與平面β所成角的大小為30°．
故答案為：30°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線(xiàn)面角的求法，考查空間想象能力和思維能力，是中檔題．