Question

（2012•順河區(qū)一模）偶函數(shù)f(x)滿足f(x-2)=f(x+2)，且在x∈[0，2]時，f(x)=2cos

π

4

x，則關(guān)于x的方程f(x)=(

1

2

)x，在x∈[-2，6]上解的個數(shù)是（　�。�

A．l

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：根據(jù)題意，函數(shù)f（x）是周期為4的是偶函數(shù)，在[0，2]上的表達式為f(x)=2cos

π

4

x，由此不難作出f（x）在[-2，6]上的圖象，再在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)y=（

1

2

）^x的圖象，觀察兩個圖象的交點個數(shù)，即得本題方程實數(shù)根的個數(shù)．

解答：解：∵當(dāng)x∈[0，2]時，0≤

π

4

x≤

π

2

，f(x)=2cos

π

4

x
∴函數(shù)f（x）在x=0時，函數(shù)值有最大值f（0）=2cos0=2，
在x=2時，函數(shù)值有最小值f（2）=2cos

π

2

=0．
由此作出函數(shù)f（x）在x∈[0，2]時的圖象，呈減函數(shù)趨勢如圖
∵函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，
∴f（x）在[-2，0]上的圖象與[0，2]上的圖象關(guān)于y軸對稱，如圖所示
∵函數(shù)f（x）滿足f（x-2）=f（x+2），∴函數(shù)f（x）是周期T=4的周期函數(shù)．
因此，將f（x）在[-2，2]上的圖象向右平移一個周期，得f（x）在[2，6]上的圖象
∴函數(shù)f（x）在[-2，6]上的圖象如右圖所示，是位于x軸上方的兩段余弦型曲線弧
在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)y=（

1

2

）^x的圖象，可得它經(jīng)過點（0，1），呈減函數(shù)趨勢如圖
因為兩個圖象有4個交點，得關(guān)于x的方程f（x）=（

1

2

）^x的實數(shù)根也有4個
故選D

點評：本題以一個關(guān)于x的方程根的個數(shù)討論為載體，考查了函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性、基本初等函數(shù)圖象作法和函數(shù)的周期等知識點，屬于中檔題．