Question

14．已知f（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$，定義f₁（x）=f′（x），f₂（x）=[f₁（x）]′，…，f_n+1（x）=[f_n（x）]′，n∈N．經(jīng)計(jì)算f₁（x）=$\frac{1-x}{{e}^{x}}$，f₂（x）=$\frac{x-2}{{e}^{x}}$，f₃（x）=$\frac{3-x}{{e}^{x}}$，…，照此規(guī)律．
（Ⅰ）請(qǐng)歸納出f_n（x）的表達(dá)式；
（Ⅱ）試用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知中定義f₁（x）=f′（x），f₂（x）=[f₁（x）]′，…，f_n+1（x）=[f_n（x）]′，n∈N^*．結(jié)合f₁（x），f₂（x），f₃（x），分析出f_n（x）解析式隨n變化的規(guī)律，可得答案；
（Ⅱ）根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法得步驟證明證明即可，其中需要根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則．

解答 解：（Ⅰ）f₁（x）=$\frac{1-x}{{e}^{x}}$=$\frac{（-1）^{1}（x-1）}{{e}^{x}}$，f₂（x）=$\frac{x-2}{{e}^{x}}$=$\frac{（-1）^{2}（x-2）}{{e}^{x}}$，f₃（x）=$\frac{3-x}{{e}^{x}}$=$\frac{（-1）^{3}（x-3）}{{e}^{x}}$，…，
由此歸納可得：f_n（x）=$\frac{（-1）^{n}（x-n）}{{e}^{x}}$，
（Ⅱ）①當(dāng)n=1時(shí)，函數(shù)成立，
②假設(shè)n=k時(shí)成立，即f_k（x）=$\frac{（-1）^{k}（x-k）}{{e}^{x}}$，
那么當(dāng)n=k+1時(shí)，f_k+1（x）=[f_k（x）]′=（-1）^k•$\frac{{e}^{x}-（x-k）{e}^{x}}{（{e}^{x}）^{2}}$=（-1）^k•$\frac{k+1-x}{{e}^{x}}$=（-1）^k+1•$\frac{x-（k+1）}{{e}^{x}}$，
這就是說(shuō)當(dāng)n=k+1時(shí)，等式也成立．
根據(jù)①和②可知等式對(duì)任何n∈N₊都成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)學(xué)歸納法的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵正確運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法的證題步驟，屬于中檔題．