Question

6．直線y=x+m與圓C：（x+4）²+y²=8交于M、N兩點(diǎn)，且|$\overrightarrow{MN}$|≥$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{CM}$+$\overrightarrow{CN}$|，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（　　）

• A． [2，6]
• B． [4-$\sqrt{2}$，4+$\sqrt{2}$]
• C． [-6，-2]
• D． [-4-$\sqrt{2}$，-4+$\sqrt{2}$]

Answer 1

分析 MN的中點(diǎn)為A，則CA⊥MN，并且2$\overrightarrow{CA}$=$\overrightarrow{CM}$+$\overrightarrow{CN}$，利用|$\overrightarrow{MN}$|≥$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{CM}$+$\overrightarrow{CN}$|，可得|$\overrightarrow{MN}$|≥2$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{CA}$|，從而可得|$\overrightarrow{CA}$|≤$\sqrt{2}$，利用點(diǎn)到直線的距離公式，可得$\frac{|-4+m|}{\sqrt{2}}$≤$\sqrt{2}$，即可求出實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答 解：設(shè)MN的中點(diǎn)為A，則CA⊥MN，并且2$\overrightarrow{CA}$=$\overrightarrow{CM}$+$\overrightarrow{CN}$，
∵|$\overrightarrow{MN}$|≥$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{CM}$+$\overrightarrow{CN}$|，
∴|$\overrightarrow{MN}$|≥2$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{CA}$|，
即為2$\sqrt{8-|\overrightarrow{CA}{|}^{2}}$≥2$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{CA}$|，解得|$\overrightarrow{CA}$|≤$\sqrt{2}$，
∴C到直線MN的距離$\frac{|-4+m|}{\sqrt{2}}$≤$\sqrt{2}$，
解得2≤m≤6．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線與圓的位置關(guān)系以及點(diǎn)到直線的距離問(wèn)題，關(guān)鍵是通過(guò)熟練的運(yùn)算得到m的不等式解之．