Question

【題目】設(shè)復(fù)數(shù)z1＝(a2－4sin2θ)＋(1＋2cos θ)i，a∈R，θ∈(0，π)，z2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第一象限，且z＝－3＋4i.

(1)求z2及|z2|.

(2)若z1＝z2，求θ與a2的值．

Answer 1

【答案】(1) z2＝1＋2i，|z2|＝；(2) θ＝，a2＝4.

【解析】

（1）利用待定系數(shù)法設(shè)，根據(jù)復(fù)數(shù)的運算法則以及其相等的充要條件可求出以及；（2）根據(jù)可得關(guān)于和的方程組，解出即可.

(1)設(shè)，則，

因此.

所以，解得或

所以z2＝1＋2i，或z2＝－1－2i.

又因為z2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第一象限，則z2＝－1－2i應(yīng)舍去，

故z2＝1＋2i，|z2|＝.

(2)由(1)知(a2－4sin2θ)＋(1＋2cos θ)i＝1＋2i，

即解得cos θ＝，

因為θ∈(0，π)，所以θ＝，所以a2＝1＋4sin2θ＝1＋4×＝4.

綜上可知θ＝，a2＝4.