Question

【題目】若存在常數(shù)，使得數(shù)列滿足對一切恒成立，則稱為“可控數(shù)列”.

(1) 若數(shù)列的通項公式為，試判斷數(shù)列是否為“可控數(shù)列”？并說明理由；

(2) 若是首項為5的“可控數(shù)列”，且單調遞減，問是否存在常數(shù)，使？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由；

(3) 若“可控數(shù)列”的首項為2，，求不同取值的個數(shù)及最大值.(直接寫出結果)

Answer 1

【答案】(1) 為“可控數(shù)列”; (2) ;(3) 的不同取值個數(shù)是2018，最大值為2019

【解析】

（1）依據(jù)定義驗證即可.

（2）利用為可控數(shù)列且單調遞減得到，再利用累加法求得數(shù)列的通項為，分別討論和時的極限后可得的大小.

（3）當為遞增數(shù)列時， 最大且最大值為，當為遞減數(shù)列時，最小且最小值值為，又必為奇數(shù)，故不同的取值個數(shù)為2018.

(1) ，.故為“可控數(shù)列”.

(2) 假設存在常數(shù)滿足題意.

由是單調遞減的“可控數(shù)列”，得.

累加，得.

當時，，不合題意.

當時，，.

令，得.

故的值為.

(3) 的不同取值個數(shù)是2018，最大值為2019.