Question

（理科）已知函數(shù)f（x）=alnx-ax-3（a∈R）．
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）若函數(shù)y=f（x）的圖象在點（2，f（2））處的切線的傾斜角為45°，對任意的t∈[1，2]，若函數(shù)g(x)=x3+x2[f/(x)+

m

2

]在區(qū)間（t，3）上有最值，求實數(shù)m取值范圍；
（3）求證：ln（2²+1）+ln（3²+1）+ln（4²+1）+…+ln（n²+1）＜1+2lnn!（n≥2，n∈N^*）
（文科） 已知函數(shù)f(x)=ax3+

1

2

x2-2x+c
（1）若x=-1是f（x）的極值點且f（x）的圖象過原點，求f（x）的極值；
（2）若g(x)=

1

2

bx2-x+d，在（1）的條件下，是否存在實數(shù)b，使得函數(shù)g（x）的圖象與函數(shù)f（x）的圖象恒有含x=-1的三個不同交點？若存在，求出實數(shù)b的取值范圍；否則說明理由．

Answer 1

分析：（理科）（1）先對函數(shù)f（x）進行求導，然后令導函數(shù)大于0（或小于0）求出x的范圍，根據(jù)f′（x）＞0求得的區(qū)間是單調(diào)增區(qū)間，f′（x）＜0求得的區(qū)間是單調(diào)減區(qū)間，即可得到答案．
（2））處的切線的傾斜角為45°，得到f′（2）=1求出a的值代入到 g(x)=x3+x2[

m

2

+f′(x)]中化簡，求出導函數(shù)，因為函數(shù)在（2，3）上總存在極值得到

g′(2)＜0 g′(3)＞0

解出m的范圍記即可；
（3）是近年來高考考查的熱點問題，即與函數(shù)結(jié)合證明不等式問題，常用的解題思路是利用前面的結(jié)論構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性，對于函數(shù)取單調(diào)區(qū)間上的正整數(shù)自變量n有某些結(jié)論成立，進而解答出這類不等式問題的解．
（文科）（1）根據(jù)f（x）的圖象過原點求出c，根據(jù)x=-1是f（x）的極值點，則f'（-1）=0，求出a，從而求出f（x）的解析式；
（2）根據(jù)x=-1是函數(shù)g（x）的圖象與函數(shù)f（x）的圖象的公共點建立f（-1）=g（-1），求出b與d關系，化簡g（x）=f（x）最后根據(jù)函數(shù)g（x）的圖象與函數(shù)f（x）的圖象恒有含x=-1的三個不同交點，求出b的范圍即可．

解答：解：（1） f′(x)=

a

x

-a(x＞0)，
當a＞0時，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，1]，減區(qū)間為[1，+∞）；
當a＜0時，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[1，+∞），減區(qū)間為（0，1]；
當a=0時，f（x）不是單調(diào)函數(shù)
（2）因為函數(shù)y=f（x）的圖象在點（2，f（2））處的切線的傾斜角為45°，
所以f′（2）=1，所以a=-2，f′(x)=

-2

x

+2，
g(x)=x3+x2[

m

2

+2-

2

x

]=x3+(

m

2

+2)x2-2x，g′（x）=3x²+（4+m）x-26
因為對于任意的t∈[1，2]，函數(shù) g(x)=x3+x2[

m

2

+f′(x)]在區(qū)間（t，3）上
總存在極值，所以只需

g′(2)＜0 g′(3)＞0

，解得 -

37

3

＜m＜-9
（3）令a=-1（或a=1）
此時f（x）=-lnx+x-3，
所以f（1）=-2，
由（1）知f（x）=-lnx+x-3，在[1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴當x∈（1，+∞）時f（x）＞f（1），即-lnx+x-1＞0，
∴l(xiāng)nx＜x-1對一切x∈（1，+∞）成立，
∵n≥2，n∈N^*，
則有 ln(

1

n2

+1)＜

1

n2

＜

1

(n-1)n

=

1

n-1

-

1

n

，
∴要證ln（2²+1）+ln（3²+1）+ln（4²+1）+…+ln（n²+1）＜1+2lnn!
即要證 ln(

1

22

+1)+ln(

1

32

+1)+ln(

1

42

+1)+…+ln(

1

n2

+1)＜1，
而 ln(

1

22

+1)+ln(

1

32

+1)+ln(

1

42

+1)+…+ln(

1

n2

+1)
＜1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n-1

-

1

n

=1-

1

n

＜1．
（文科）（1）∵f（x）的圖象過原點
∴c=0，f'（x）=3ax²+x-2
∵x=-1是f（x）的極值點
∴f'（-1）=3a-1-2=0，解得a=1
∴f（x）=x³+

1

2

x²-2x
（2）∵x=-1是函數(shù)g（x）的圖象與函數(shù)f（x）的圖象的公共點
∴f（-1）=g（-1）即d=

1-b

2

f（x）=x³+

1

2

x²-2x=

1

2

bx²-x+

1-b

2

  化簡得（x²-1）（x-

1

2

+

b

2

）=0
∵函數(shù)g（x）的圖象與函數(shù)f（x）的圖象恒有含x=-1的三個不同交點
∴

1-b

2

≠±1
即b∈（-∞，-1）∪（-1，3）∪（3，+∞）

點評：此題是個難題．本題考查利用函數(shù)的導數(shù)來求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，已知函數(shù)曲線上一點求曲線的切線方程即對函數(shù)導數(shù)的幾何意義的考查，考查求導公式的掌握情況．含參數(shù)的數(shù)學問題的處理，構(gòu)造函數(shù)求解證明不等式問題．以及考查學生創(chuàng)造性的分析解決問題的能力．