已知函數(shù)f（x）對任意實數(shù)p、q都滿足f（p+q）=f（p）•f（q），且f(1)=
1
3
．
（1）當n∈N+時，求f（n）的表達式；
（2）設an=nf(n)
 &(n∈N+
，求證：
n
k=1
ak＜
3
4
；
（3）設bn=
nf(n+1)
f(n)
 &(n∈N+)， Sn=
n
k=1
bk
，試比較
n
k=1
1
Sk
與6的大�。�
分析：（1）由題設知：f(n)=f(n-1)•f(1)=
1
3
•f(n-1)=(
1
3
)2•f(n-2)=…=(
1
3
)n-1•f(1)=(
1
3
)n．　　　
（2）由（1）可　知　an=n•(
1
3
)n，設Tn=
n
k=1
ak則Tn=1•
1
3
+2•(
1
3
)2+…+n•(
1
3
)n．利用錯位相減法能證明
n
k=1
ak＜
3
4
．
（3）由（1）可知bn=
1
3
n，故Sn=
n
k=1
bk=
1
3
(1+2+…+n)=
n(n+1)
6
，所以
1
Sn
=
6
n(n+1)
=6(
1
n
-
1
n+1
)，由此能夠證明
n
k=1
ak＜
3
4
．
解答：（1）解：∵函數(shù)f（x）對任意實數(shù)p、q都滿足f（p+q）=f（p）•f（q），且f(1)=
1
3
，
∴f(n)=f(n-1)•f(1)=
1
3
•f(n-1)=(
1
3
)2•f(n-2)=…=(
1
3
)n-1•f(1)=(
1
3
)n．　　　
（2）證明：由（1）可　知　an=n•(
1
3
)n，
設Tn=
n
k=1
ak
則Tn=1•
1
3
+2•(
1
3
)2+…+n•(
1
3
)n．
∴
1
3
Tn=1•(
1
3
)2+2•(
1
3
)3+…+(n-1)(
1
3
)n+n•(
1
3
)n+1．
兩式相減得
2
3
Tn=
1
3
+(
1
3
)2+(
1
3
)3+…+(
1
3
)n-n•(
1
3
)n+1
=
1
2
[1-(
1
3
)n]-n•(
1
3
)n+1，
∴Tn=
n
k=1
ak=
3
4
-
1
4
(
1
3
)n-1-
n
2
•(
1
3
)n＜
3
4
．     
（3）解：由（1）可知bn=
1
3
n，
∴Sn=
n
k=1
bk=
1
3
(1+2+…+n)=
n(n+1)
6
，
則
1
Sn
=
6
n(n+1)
=6(
1
n
-
1
n+1
)，
故有
n
k=1
1
Sk
=6(1-
1
2
+
1
2
-
1
3
+…+
1
n
-
1
n+1
)
=6(1-
1
n+1
)＜6．
點評：本題考查數(shù)列與不等式的綜合運用，考查f（n）的表達式的求法，求證：
n
k=1
ak＜
3
4
，試比較
n
k=1
1
Sk
與6的大�。忸}時要認真審題，仔細解答，注意錯位相減法和裂項求和法的靈活運用．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=ex，直線l的方程為y=kx+b．
（1）求過函數(shù)圖象上的任一點P（t，f（t））的切線方程；
（2）若直線l是曲線y=f（x）的切線，求證：f（x）≥kx+b對任意x∈R成立；
（3）若f（x）≥kx+b對任意x∈[0，+∞）成立，求實數(shù)k、b應滿足的條件．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若實數(shù)x、y、m滿足|x-m|＞|y-m|，則稱x比y遠離m．
（1）若x2-1比1遠離0，求x的取值范圍；
（2）對任意兩個不相等的正數(shù)a、b，證明：a3+b3比a2b+ab2遠離2ab
ab
；
（3）已知函數(shù)f（x）的定義域D={{x|x≠
kπ
2
+
π
4
，k∈Z，x∈R}．任取x∈D，f（x）等于sinx和cosx中遠離0的那個值．寫出函數(shù)f（x）的解析式，并指出它的基本性質（結論不要求證明）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若實數(shù)x、y、m滿足|x-m|＜|y-m|，則稱x比y接近m．
（1）若x2-1比3接近0，求x的取值范圍；
（2）對任意兩個不相等的正數(shù)a、b，證明：a2b+ab2比a3+b3接近2ab
ab
；
（3）已知函數(shù)f（x）的定義域D{x|x≠kπ，k∈Z，x∈R}．任取x∈D，f（x）等于1+sinx和1-sinx中接近0的那個值．寫出函數(shù)f（x）的解析式，并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和單調(diào)性（結論不要求證明）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
ex
ex+1
．
（Ⅰ）證明函數(shù)y=f（x）的圖象關于點（0，
1
2
）對稱；
（Ⅱ）設y=f-1(x)為y=f(x)的反函數(shù)，令g(x)=f-1(
x+1
x+2
)，是否存在實數(shù)b，使得任給a∈[
1
4
，
1
3
]，對任意x∈(0，+∞)．不等式g(x)＞x-ax2+b恒成立？若存在，求b的取值范圍；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•海淀區(qū)一模）已知函數(shù)f（x）=
1，x∈Q
0，x∈CRQ
，則f（f（x））=
1
1

下面三個命題中，所有真命題的序號是
①②③
①②③
．
①函數(shù)f（x）是偶函數(shù)；
②任取一個不為零的有理數(shù)T，f（x+T）=f（x）對x∈R恒成立；
③存在三個點A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），C（x3，f（x3）），使得△ABC為等邊三角形．

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