Question

．以下四個(gè)關(guān)于圓錐曲線的命題中：

①設(shè)為兩個(gè)定點(diǎn)，為非零常數(shù)，，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡為雙曲線；

②過定圓上一定點(diǎn)作圓的動(dòng)點(diǎn)弦，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若則動(dòng)點(diǎn)的軌跡為圓；

③，則雙曲線與的離心率相同；

④已知兩定點(diǎn)和一動(dòng)點(diǎn)，若，則點(diǎn)的軌跡關(guān)于原點(diǎn)對稱.

其中真命題的序號為 （寫出所有真命題的序號）.

Answer 1

②③④

【解析】

試題分析：①錯(cuò)誤.若動(dòng)點(diǎn)的軌跡為雙曲線，則要小于兩個(gè)定點(diǎn)間的距離，當(dāng)大于兩個(gè)定點(diǎn)間的距離時(shí)動(dòng)點(diǎn)的軌跡無圖形，當(dāng)等于兩個(gè)定點(diǎn)間的距離時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是兩條射線；

②正確.根據(jù)平面向量加法的平行四邊形法則，易知點(diǎn)是的中點(diǎn).根據(jù)垂徑定理，圓心與弦的中點(diǎn)連線垂直于這條弦，在定圓上，有,即恒為直角.由于是圓的半徑，是一個(gè)定長，且，所以點(diǎn)在以為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓.

③正確.雙曲線的離心率，由：且，解得；

雙曲線的離心率，由，又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015040406013432332613/SYS201504040601393080900241_DA/SYS201504040601393080900241_DA.015.png">，所以，綜上，所以兩個(gè)雙曲線的離心率相同，正確.

④正確.設(shè)，所以即：，設(shè)為曲線上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)，因?yàn)?/p>

，即點(diǎn)也在曲線上，所以命題正確.

綜上正確命題的序號是②③④.

考點(diǎn)：1.雙曲線的定義；2.動(dòng)點(diǎn)的軌跡；3.雙曲線的離心率.