Question

【題目】已知：集合，其中

．，稱為的第個(gè)坐標(biāo)分量．若，且滿足如下兩條性質(zhì)：

①中元素個(gè)數(shù)不少于個(gè)．

②，，，存在，使得，，的第個(gè)坐標(biāo)分量都是．則稱為的一個(gè)好子集．

（）若為的一個(gè)好子集，且，，寫出，．

（）若為的一個(gè)好子集，求證：中元素個(gè)數(shù)不超過(guò)．

（）若為的一個(gè)好子集且中恰好有個(gè)元素，求證：一定存在唯一一個(gè)，使得中所有元素的第個(gè)坐標(biāo)分量都是．

Answer 1

【答案】(1) ，．

(2) 證明見解析.

(3)證明見解析.

【解析】分析：（1）根據(jù)好子集的定義直接寫出Z，W；

（2）若S為的一個(gè)好子集，考慮元素，進(jìn)行判斷證明即可；

（3）根據(jù)好子集的定義，證明存在性和唯一性即可得到結(jié)論.

詳解：（），．

（）對(duì)于，考慮元素；

顯然，，，，對(duì)于任意的，，，不可能都為，

可得，不可能都是好子集中．

又因?yàn)槿《?/span>，則一定存在且唯一，而且，

由的定義知道，，,

這樣，集合中元素的個(gè)數(shù)一定小于或等于集合中元素個(gè)數(shù)的一半，而集合中元素的個(gè)數(shù)為，所以中元素個(gè)數(shù)不超過(guò)．

（），，定義元素，的乘積為

，顯然．

我們證明“對(duì)任意的，都有．”

假設(shè)存在，使得，則由（）知，

．

此時(shí)，對(duì)于任意的，，，不可能同時(shí)為，矛盾，所以．

因?yàn)?/span>中只有個(gè)元素，我們記為中所有元素的成績(jī)，根據(jù)上面的結(jié)論，我們知道，

顯然這個(gè)元素的坐標(biāo)分量不能都為，不妨設(shè)，

根據(jù)的定義，可以知道中所有元素的坐標(biāo)分量都為．

下面再證明的唯一性：

若還有，即中所有元素的坐標(biāo)分量都為．

所以此時(shí)集合中元素個(gè)數(shù)至多為個(gè)，矛盾．

所以結(jié)論成立．