Question

【題目】若定義在上的函數(shù)，其圖象是連續(xù)不斷的，且存在常數(shù)使得對(duì)任意的實(shí)數(shù)都成立，則稱是一個(gè)“特征函數(shù)”則下列結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)為（ ）．

①是常數(shù)函數(shù)中唯一的“特征函數(shù)”；

②不是“特征函數(shù)”；

③“特征函數(shù)”至少有一個(gè)零點(diǎn)；

④是一個(gè)“特征函數(shù)”；．

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】C

【解析】分析：利用新定義“特征函數(shù)”，逐個(gè)判斷即可得到答案.

詳解：對(duì)于①設(shè)是一個(gè)“特征函數(shù)”，則，當(dāng)時(shí)，可以取實(shí)數(shù)集，因此不是唯一一個(gè)常數(shù)“特征函數(shù)”，故①錯(cuò)誤；

對(duì)于②，∵，∴，即，

∴當(dāng)時(shí)，；時(shí)，有唯一解，

∴不存在常數(shù)使得對(duì)任意實(shí)數(shù)都成立，

∴不是“特征函數(shù)”，故②正確；

對(duì)于③，令得，所以，

若，顯然有實(shí)數(shù)根；若，．

又∵的函數(shù)圖象是連續(xù)不斷的，∴在上必有實(shí)數(shù)根，

因此任意的“特征函數(shù)”必有根，即任意“特征函數(shù)”至少有一個(gè)零點(diǎn)，故③正確；

對(duì)于④，假設(shè)是一個(gè)“特征函數(shù)”，則對(duì)任意實(shí)數(shù)成立，則有，而此式有解，所以是“特征函數(shù)”，故④正確．

綜上所述，結(jié)論正確的是②③④，共個(gè)．

故選．